Bài tập 11, § 3

Cho $G$ là nhóm compact $O(n, R)$, $\lambda$ là độ đo Haar chuẩn hóa trên $G$. Với $0 < k < n$, cho $H$ là nhóm con đóng của $G$ giữ bất biến (toàn cục) không gian con $\mathbf{R}^k$ của $\mathbf{R}^n$; không gian thuần nhất $G/H$, được trang bị tôpô thương của nó, có thể được đồng nhất một cách chính tắc với đa tạp Grassmann $E = G_{n-1, k-1}(\mathbf{R})$ (GT, VI, §3, No. 6) của các không gian con tuyến tính chiều $k$ của $\mathbf{R}^n$. Có một độ đo $\mu$ trên $E$ bất biến dưới $G$, được xác định sai khác bởi một hằng số. Với mỗi không gian con $P \in E$, cho $\sigma_P$ là ảnh của độ đo Lebesgue của $\mathbf{R}^k$ qua một $s \in G$ sao cho $s \cdot \mathbf{R}^k = P$ (độc lập với phần tử $s \in G$ thỏa mãn quan hệ này). Chứng minh rằng có thể chọn $\mu$ sao cho tính chất sau được thỏa mãn: với mọi hàm liên tục $f$ trên $\mathbf{R}^n$ có giá compact, và với mọi $P \in E$, đặt $F(P) = \int_P f(x) d\sigma(x)$; khi đó

(Nếu $P_0 = \mathbf{R}^k$, chú ý rằng có thể viết $\int_E F(P) d\mu(P) = c \int_G F(s \cdot P_0) d\lambda(s)$ với một hằng số $c$ thích hợp, và mặt khác,

với các ký hiệu của Bài tập 8; cuối cùng, sử dụng Bài tập 8 b).)