Bài tập 15, § 3

Cho $G$ là một nhóm compact địa phương, $\beta$ là một độ đo Haar trái trên G; do lạm dụng ngôn ngữ, trong phần sau đây ta đồng nhất các hàm số có tích phân theo $\beta$ được và các lớp của chúng trong $L^1(G, \beta)$; cũng lạm dụng tương tự đối với $L^p(G, \beta)$.

a) Cho $A$ là một tự đồng cấu liên tục của không gian Banach $L^1(G, \beta)$ sao cho, với mọi $s \in G$, ta có $A(f * \varepsilon_s) = A(f) * \varepsilon_s$ với mọi $f \in L^1(G, \beta)$.

BÀI TẬP

Bây giờ chứng minh rằng, với mọi hàm $g \in \mathscr{K}(G)$, khi đó ta có $A(f * g) = A(f) * g$ (lưu ý rằng $s \to g(s)A(f * \varepsilon_s)$ là một ánh xạ tích phân theo $\beta$ được của $G$ vào $L^1(G, \beta)$); đảo lại. Suy ra rằng tồn tại một độ đo bị chặn và duy nhất $\mu$ trên $G$ sao cho $A(f) = \mu * f$ với mọi $f \in L^1(G, \beta)$, và $\|A\| = \|\mu\|$. (Với các ký hiệu của Prop. 19 của No. 7, xét giới hạn của $A(f_V * g)$ theo một siêu lọc mịn hơn lọc các phần của $\mathscr{B}$, sử dụng tính compact của quả cầu đơn vị của $\mathscr{M}^1(G)$ đối với tôpô yếu $\sigma(\mathscr{M}^1(G), \mathscr{K}(G))$.)

b) Cho $\mu$ là một độ đo bị chặn trên $G$; chứng minh trực tiếp rằng chuẩn của tự đồng cấu liên tục $\gamma(\mu): f \to \mu * f$ của $L^\infty(G, \beta)$ bằng $\|\mu\|$. (Rút gọn về trường hợp $\mu$ có giá compact, và trong đó $\mu$ có một mật độ liên tục đối với $|\mu|$.) Suy ra lại rằng tự đồng cấu liên tục $\gamma(\mu): f \to \mu * f$ của $L^1(G, \beta)$ có chuẩn bằng $\|\mu\|$.

c) Giả sử $G$ compact và $\mu$ dương. Chứng minh rằng với $1 < p < +\infty$, chuẩn của tự đồng cấu liên tục $\gamma(\mu): f \to \mu * f$ của $L^p(G, \beta)$ bằng $\|\mu\|$.

d) Lấy $G$ là nhóm cyclic cấp 3. Hãy cho một ví dụ về một độ đo $\mu$ trên $G$ sao cho chuẩn của tự đồng cấu $\gamma(\mu)$ của $L^p(G, \beta)$ nhỏ hơn nghiêm ngặt $\|\mu\|$ với $1 < p < +\infty$.