Bài tập 16, § 3

Các ký hiệu và quy ước là những ký hiệu và quy ước của Bài tập 15.

a) Bây giờ chứng minh rằng, để một độ đo bị chặn $\mu$ trên $G$ có tính chất $\|\mu * f\|_1 = \|f\|_1$ với mọi $f \in L^1(G, \beta)$, điều kiện cần và đủ là $\mu$ là một độ đo điểm có chuẩn 1. (Dùng sự kiện rằng tự đồng cấu $\gamma(|\mu|)$ của $L^1(G, \beta)$ có chuẩn $\|\mu\|$ (Bài tập 15), bây giờ chứng minh rằng cần phải có, với mọi hàm $f \in \mathscr{K}(G)$,

suy ra trước hết rằng $\tilde{\mu} = c|\mu|$, trong đó $c$ là một hằng có giá trị tuyệt đối bằng 1, rồi suy ra rằng $\mu$ là điểm).

b) Lấy $G$ là nhóm cyclic cấp 3. Cho một ví dụ về một độ đo không điểm $\mu$ trên $G$ sao cho $\|\mu * f\|_2 = \|f\|_2$ với mọi hàm số $f$ xác định trên $G$.