Bài tập 18, § 3

Các ký hiệu và quy ước là các ký hiệu và quy ước của Bài tập 15.

a) Cho $\mu$ là một độ đo bị chặn trên $G$, có giá chứa ít nhất hai điểm phân biệt. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một tập compact $K$, và một số $k$ sao cho $0 < k < 1$, mà ta có $\| \varphi_{sK} \cdot \mu \| \leq k \| \mu \|$ với mọi $s \in G$. (Nếu $t, t'$ là hai điểm phân biệt của giá của $\mu$, hãy lấy $K$ là một lân cận đủ nhỏ của $e$ sao cho $sK$ không thể gặp đồng thời cả $tK$ và $t'K$).

b) Cho $\mu$ là một độ đo bị chặn $\geq 0$ trên $G$, có giá chứa ít nhất hai điểm phân biệt. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một hàm $f \in L^\infty(G, \beta)$, không tương đương với một hàm $\geq 0$, và sao cho $\mu * f$ là $\geq 0$ hầu khắp nơi địa phương đối với $\beta$. (Dùng a), lấy $f$ bằng $-1$ trong $K$ và bằng một hằng dương thích hợp trong $C_K$.)

Nếu hơn nữa giá của $\mu$ là compact, tồn tại một hàm $f$ có các tính chất trước đó và có giá compact.

c) Cho $\mu_1, \mu_2$ là hai độ đo dương khác không bị chặn trên $G$, hoán vị được đối với phép tích chập, và sao cho giá $K$ của $\mu_1$ là compact và chứa $e$. Đặt $\mu = \mu_1 + \mu_2$. Cho $V$ là một lân cận compact đối xứng của $e$ chứa $K$, $g$ là hàm bằng $\mu * \varphi_V$ trong $C_V$, bằng $0$ trong $V$; bây giờ chứng minh rằng hàm $\mu * (g - (\mu_1 * \varphi_V))$ là $\geq 0$ hầu khắp nơi địa phương trong $C(V^2)$. Mặt khác, bây giờ chứng minh rằng tồn tại một tập compact $H$ sao cho hàm $\mu_2 * \varphi_H$ là $\geq 0$ hầu khắp nơi trong $V^2$.

d) Suy ra từ c) rằng nếu $\mu$ là một độ đo dương bị chặn trong $G$ có giá đỡ chứa ít nhất hai điểm phân biệt, tồn tại một hàm $f$ thuộc mọi $L^p(G, \beta)$ ($1 \leq p \leq +\infty$), không tương đương với một hàm $\geq 0$, và sao cho $\mu * f$ là $\geq 0$ địa phương hầu khắp nơi, khi ta thêm một trong các giả thiết sau: $\alpha)$ $G$ là giao hoán ; $\beta)$ có một điểm $a \in G$ sao cho $\mu(\{a\}) > 0$. (Phân tích thích hợp $\mu$ thành tổng của hai độ đo hoán vị được $\geq 0$).