Bài tập 19, § 3

Các ký hiệu và quy ước là những ký hiệu và quy ước của Bài tập 15.

a) Bây giờ chứng minh rằng nếu một độ đo dương bị chặn $\mu$ trên $G$ sao cho với mọi hàm $f \in L^p(G, \beta)$ ($p$ cho trước, $1 \leq p < +\infty$) quan hệ $\mu * f \geq 0$ hầu khắp nơi địa phương kéo theo $f \geq 0$ hầu khắp nơi địa phương, thì có thể kết luận rằng $\mu$ là một độ đo điểm trong mỗi trường hợp sau đây: $\alpha)$ $G$ là compact ; $\beta)$ $G$ là rời rạc ; $\gamma)$ $G$ là giao hoán (dùng Bài tập 18) (*). Với $p = +\infty$, cùng kết luận đó đúng mà không cần thêm bất kỳ giả thiết nào về $G$.

b) Cho $\mu$ là một độ đo dương bị chặn trên $G$ sao cho: $1^o$ $\gamma(\mu)$ là một tự đồng cấu toàn ánh của $L^1(G, \beta)$ ; $2^o$ với mọi hàm $f \in L^1(G, \beta)$ quan hệ $\mu * f \geq 0$ hầu khắp nơi địa phương kéo theo

(*) Để có một ví dụ trong đó $\mu$ không phải là độ đo điểm và sao cho $\mu * f \geq 0$ kéo theo $f \geq 0$, xem Williamson, Proc. Edimb. Math. Soc., 1957, tr. 71-77.

$f \geqslant 0$ hầu khắp nơi địa phương. Bây giờ chứng minh rằng $\mu$ là một độ đo điểm. (Nhận xét rằng với mọi hàm $g \in L^\infty(G, \beta)$, quan hệ $\tilde{\mu} * g \geqslant 0$ hầu khắp nơi địa phương kéo theo $g \geqslant 0$ hầu khắp nơi địa phương).