Bài tập 20, § 3

Cho $G$ là một nhóm compact địa phương, $\beta$ là một độ đo Haar trái trên G.

a) Cho $f$ là một hàm số bị chặn trên G, liên tục đều đối với cấu trúc đều trái. Chứng minh rằng với mọi độ đo bị chặn $\mu$ trên G, $\mu * f$ là liên tục đều đối với cấu trúc đều trái; hơn nữa, với các ký hiệu của No. 7, mệnh đề 19, $f$ là giới hạn, đối với tôpô hội tụ đều trên G, của các hàm $f_v * f$ theo lưới các phần của $\mathscr{B}$.

b) Lấy $G = \mathbf{T}$; cho một ví dụ về một hàm liên tục $h$ trên $\mathbf{T}$ không có dạng $f * g$, trong đó $f$ và $g$ thuộc $L^2(\mathbf{T}, \beta)$. (Dùng các bài tập 19 b) và 20 của chương IV, § 6.)