Bài tập 22, § 3

Các ký hiệu là những ký hiệu của Bài tập 21 của § 4 và Bài tập 11 của § 3.

a) Cho $(\mu_n)$ là một dãy các độ đo bị chặn trên G. Giả sử rằng với mọi hàm $f \in L^1(G, \beta)$, dãy $(\mu_n * f)$ hội tụ về 0 trong $\mathscr{M}_I$. Bây giờ chứng minh rằng dãy các chuẩn $(\|\mu_n\|)$ bị chặn (dùng định lý Banach-Steinhaus cho họ các ánh xạ $f \to \mu_n * f$ từ $L^1(G, \beta)$ vào chính nó, cũng như Bài tập 15). Suy ra rằng dãy $(\mu_n)$ tiến tới 0 trong $\mathscr{M}_I$ (dùng Bài tập 20).

b) Cho $(\mu_n)$ là một dãy các độ đo bị chặn trên G sao cho dãy $(\mu_n * f)$ tiến tới 0 theo nghĩa mờ với mọi hàm $f \in L^1(G, \beta)$; bây giờ chứng minh rằng dãy $(\mu_n)$ tiến tới 0 theo nghĩa mờ (với mọi tập con compact K của G, chứng minh, lập luận như trong a), rằng dãy $(|\mu_n|(K))$ bị chặn). Cho một ví dụ (với $G = \mathbf{Z}$) trong đó dãy $(\|\mu_n\|)$ không bị chặn.

c) Cho $(\mu_n)$ là một dãy các độ đo bị chặn trên G sao cho với mọi hàm $f \in L^1(G, \beta)$, dãy $(\mu_n * f)$ hội tụ về 0 trong $\mathscr{M}_{II}$; bây giờ chứng minh rằng dãy $(\mu_n)$ hội tụ về 0 trong $\mathscr{M}_{II}$ (dùng a).