Bài tập 26, § 3

Cho $G$ là một nhóm compact địa phương, $\beta$ là một độ đo Haar trái trên $G$. Để một tập con $H$ của $L^p(G, \beta)$ ($1 \leq p \leq +\infty$) là tương đối compact (đối với tôpô hội tụ theo trung bình cấp $p$), điều kiện cần và đủ là các điều kiện sau đây được thỏa mãn: 1° $H$ bị chặn trong $L^p(G, \beta)$; 2° với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một tập con compact $K$ của $G$ sao cho $\|f\varphi_{G-K}\|_p \leq \varepsilon$ với mọi hàm $f \in H$; 3° với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một lân cận $V$ của $e$ trong $G$ sao cho $\|\gamma(s)f - f\|_p \leq \varepsilon$ với mọi $f \in H$ và mọi $s \in V$. (Để chứng minh rằng các điều kiện là đủ, hãy nhận xét rằng nếu $g \in \mathscr{K}(G)$, và nếu $L$ là một tập con compact của $G$, thì ảnh bởi ánh xạ $f \to g * f$ của tập các hạn chế lên $L$ của các hàm của $H$ là một tập con đồng liên tục của $\mathscr{K}(G)$).