Bài tập 27, § 3

Cho $G$ là một nhóm compact địa phương, $\beta$ là một độ đo Haar trái trên $G$. Nếu $G$ không thu gọn thành $e$, $L^1(G, \beta)$ là một đại số (đối với phép chập) thừa nhận các ước của không ngoài $0$. Ta có thể tiến hành như sau để tạo thành hai phần tử khác không $f, g$ của $L^1(G, \beta)$ sao cho $f * g = 0$ :

1° Trường hợp $G$ chứa một nhóm con compact $H$ không thu gọn thành $e$. Khi đó lấy $f$ là một hàm đặc trưng của một tập hợp $A$, lấy $g$ là một hiệu $\varphi_{sB} - \varphi_B$ của hai hàm đặc trưng của các tập hợp, với $A$ và $B$ được chọn thích hợp.

2° Trường hợp $G = \mathbf{Z}$. Bây giờ chứng minh rằng có thể lấy

với mọi $n \in \mathbf{Z}$ và $g(n) = f(-n)$.

3° Trường hợp tổng quát. Trước hết chứng minh rằng tồn tại $a \neq e$ trong $G$ sao cho $\Delta(a) = 1$. Bao đóng $H$ trong $G$ của nhóm con sinh bởi $a$ khi đó là một nhóm con compact hoặc một nhóm con đẳng cấu với $\mathbf{Z}$ (General Top., Chương V, § 1, exerc. 2). Trong trường hợp thứ nhất, dùng kết quả của

1° ; trong trường hợp thứ hai, lấy $f(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \alpha_n \varphi_{Ua^{-n}}(t), g(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \beta_n \varphi_{a^n U}(t)$, chọn thích hợp $U$ và các dãy $(\alpha_n), (\beta_n)$ với sự trợ giúp của 2°.