Dành cho độc giả

1. Chuỗi sách Các Nguyên lý Toán học bắt đầu từ những nền tảng của toán học và đưa ra các chứng minh đầy đủ. Về nguyên tắc, nó không đòi hỏi ở độc giả một kiến thức toán học đặc biệt nào, mà chỉ cần một sự quen thuộc nhất định với lập luận toán học và một khả năng nhất định về tư duy trừu tượng. Tuy nhiên, nó đặc biệt hướng tới những người có kiến thức tốt ít nhất về nội dung của một hoặc hai năm đầu của một khóa học toán học đại học.

2. Phương pháp trình bày mà chúng tôi lựa chọn là tiên đề hóa, và thông thường đi từ tổng quát đến cụ thể. Những yêu cầu của chứng minh áp đặt một cấp có thứ tự nghiêm ngặt lên nội dung. Do đó, ích lợi của một số xem xét sẽ không ngay lập tức rõ ràng đối với độc giả, trừ khi người đó đã có một kiến thức toán học khá rộng.

3. Chuỗi sách được chia thành các Quyển, và mỗi Quyển thành các chương. Các Quyển đã xuất bản, toàn bộ hoặc một phần, trong bản tiếng Pháp, được liệt kê dưới đây. Khi có bản dịch tiếng Anh, tên tiếng Anh tương ứng được nêu trong ngoặc đơn. Trong toàn bộ tập sách, một tham chiếu chỉ bản tiếng Anh khi có, và bản tiếng Pháp trong trường hợp ngược lại.

Théorie des Ensembles (Lý thuyết tập hợp) ký hiệu bởi E (S) Algèbre (Đại số) — A (A) Topologie Générale (Tôpô tổng quát) — TG (GT) Fonctions d’une Variable Réelle (Hàm của một biến thực) — FVR (FRV) Espaces Vectoriels Topologiques (Không gian vectơ tôpô) — EVT (TVS) Intégration (Tích phân) — INT (INT) Algèbre Commutative (Đại số giao hoán) — AC (CA) Variétés Différentielles et Analytiques — VAR Groupes et Algèbres de Lie (Nhóm và đại số Lie) — LIE (LIE) Théories Spectrales — TS

Trong sáu Quyển đầu tiên (theo thứ tự trên), mọi mệnh đề trong văn bản chỉ giả sử đã biết những kết quả đã được thảo luận trong cùng chương, hoặc trong các chương trước theo thứ tự sau: S; A, các Chương I đến III; GT, các Chương I đến III; A, từ Chương IV trở đi; GT, từ Chương IV trở đi; FRV; TVS; INT.

Từ Quyển thứ bảy trở đi, độc giả thường sẽ tìm thấy một chỉ dẫn chính xác về quan hệ lôgic của nó với các Quyển khác (sáu Quyển đầu tiên luôn được giả sử là đã biết).

4. Tuy nhiên, đôi khi chúng tôi đã đưa vào văn bản những ví dụ liên quan đến các sự kiện mà độc giả có thể đã biết nhưng chưa được thảo luận trong chuỗi sách. Những ví dụ như vậy được đặt giữa hai dấu sao: .... Phần lớn độc giả chắc chắn sẽ thấy rằng các ví dụ này giúp họ hiểu văn bản. Trong các trường hợp khác, những đoạn giữa ... liên quan đến các kết quả được thảo luận ở nơi khác trong chuỗi sách. Chúng tôi hy vọng rằng độc giả có thể kiểm tra sự vắng mặt của mọi vòng tròn luẩn quẩn.

5. Khuôn khổ lôgic của mỗi chương gồm các định nghĩa, các tiên đề và các định lý của chương đó. Đây là những phần chủ yếu cần được ghi nhớ để sử dụng sau này. Những kết quả ít quan trọng hơn và những kết quả có thể dễ dàng suy ra từ các định lý được gọi là "mệnh đề", "bổ đề", "hệ quả", "nhận xét", v.v. Những phần có thể bỏ qua trong lần đọc đầu tiên được in bằng kiểu chữ nhỏ. Một lời chú giải về một định lý đặc biệt quan trọng đôi khi xuất hiện dưới tên "chú giải".

Để tránh những lặp lại nhàm chán, đôi khi thuận tiện đưa vào các ký hiệu hoặc các viết tắt chỉ có hiệu lực trong một chương nhất định hoặc một tiết diện nhất định của một chương (chẳng hạn, trong một chương chỉ xét các vành giao hoán, từ "vành" luôn có nghĩa là "vành giao hoán"). Những quy ước như vậy luôn được nêu tường minh, nói chung ở đầu chương mà chúng xuất hiện.

6. Một số đoạn trong văn bản được thiết kế để báo trước cho độc giả những sai lầm nghiêm trọng. Những đoạn này được đánh dấu ở lề bằng ký hiệu ("khúc quanh nguy hiểm").

7. Các Bài tập được thiết kế vừa để giúp độc giả tự kiểm tra rằng mình đã lĩnh hội văn bản, vừa để đưa ra sự chú ý của họ những kết quả không có chỗ trong văn bản nhưng vẫn đáng quan tâm. Những bài tập khó nhất mang dấu hiệu ¶.

8. Nói chung, chúng tôi đã tuân theo thuật ngữ được chấp nhận rộng rãi, trừ khi có những lý do tốt để đi lệch khỏi nó.

9. Chúng tôi đã đặc biệt cố gắng luôn sử dụng ngôn ngữ đúng đắn một cách nghiêm ngặt, mà không hy sinh tính đơn giản. Trong phạm vi có thể, chúng tôi đã chỉ ra trong văn bản những sự lạm dụng ngôn ngữ, vì thiếu chúng mà bất kỳ văn bản toán học nào cũng có nguy cơ trở nên kiểu cách, nếu không muốn nói là không thể đọc được.

10. Vì về nguyên tắc văn bản gồm sự trình bày giáo điều của một lý thuyết, nên nói chung nó không chứa các tham chiếu đến tài liệu. Các tham chiếu thư mục được tập hợp trong các Ghi chú lịch sử. Thư mục theo sau mỗi ghi chú lịch sử nói chung chỉ chứa những sách và hồi ký nguyên bản có tầm quan trọng lớn nhất trong sự phát triển của lý thuyết đang được bàn đến. Nó không tuyên bố đầy đủ dưới bất kỳ hình thức nào.

Đối với các bài tập, nói chung chúng tôi không thấy đáng để chỉ ra nguồn gốc của chúng, vì chúng được lấy từ nhiều nguồn khác nhau (các bài báo nguyên bản, sách giáo khoa, các tuyển tập bài tập).

11. Các tham chiếu đến một phần của chuỗi sách này được cho như sau: a) Nếu tham chiếu đến các định lý, tiên đề hoặc định nghĩa được trình bày trong cùng tiết diện (\S), chúng được dẫn theo số của chúng. b) Nếu chúng xuất hiện trong một tiết diện khác của cùng chương, tiết diện này cũng được dẫn trong tham chiếu. c) Nếu chúng xuất hiện trong một chương khác của cùng Quyển, chương và tiết diện được dẫn. d) Nếu chúng xuất hiện trong một Quyển khác, Quyển được dẫn trước, bằng chữ viết tắt của tên Quyển đó.

Các Bảng tóm tắt kết quả được dẫn bằng chữ R; do đó S, R có nghĩa là "Bảng tóm tắt kết quả của Lý thuyết tập hợp".