Chương I

Các bất đẳng thức về tính lồi

1. Bất đẳng thức cơ bản về tính lồi

Cho X là một tập hợp; trong không gian vectơ $\mathbf{R}^X$ của mọi hàm số hữu hạn$^1$ xác định trên X, gọi P là tập hợp của mọi hàm nhận giá trị thực dương trên X. Mặt khác, cho $M$ là một hàm số,$^2$ hữu hạn hoặc không, nhận các giá trị $\geqslant 0$, xác định trên P, sao cho:

$1^\circ$ $M(0) = 0$, và $M$ là thuần nhất dương, nghĩa là $M(\lambda f) = \lambda M(f)$ với mọi số thực $\lambda > 0$.$^3$

$2^\circ$ $M$ tăng trên P, nói cách khác quan hệ $f \leqslant g$ kéo theo $M(f) \leqslant M(g)$.

$3^\circ$ $M$ lồi trong P, nói cách khác (TVS, II, §2, No. 8) thỏa mãn quan hệ $M(f + g) \leqslant M(f) + M(g)$.

Ví dụ. — Giả sử X là một tập hợp hữu hạn, chẳng hạn khoảng $[1, n]$ của $\mathbf{N}$; ký hiệu bởi $x_i$ ($1 \leqslant i \leqslant n$) các tọa độ của một vectơ $\mathbf{x} \in \mathbf{R}^n$, các hàm

Nhận xét. — Cho S là một nón lồi nhọn được chứa trong P (nghĩa là, một tập hợp sao cho $S + S \subset S$ và $\lambda S \subset S$ với $\lambda \geqslant 0$; xem TVS, II, §2, No. 4); cho $M$ là một hàm số (hữu hạn hay không) nhận giá trị $\geqslant 0$, được định nghĩa trên S và thỏa mãn trong S các điều kiện trên $1^\circ, 2^\circ$ và $3^\circ$. Khi đó $M$ có thể được mở rộng ra toàn bộ tập hợp P, sao cho hàm mở rộng (mà ta lại ký hiệu là $M$) thỏa mãn cùng những điều kiện ấy: chỉ cần, với mọi hàm $f \in P$, đặt $M(f) = +\infty$ nếu không tồn tại hàm nào $g \in S$ sao cho $f \leqslant g$, và $M(f) = \inf_{g \in S, f \leqslant g} M(g)$ trong trường hợp ngược lại. Thủ tục này sẽ được áp dụng trong Ch. IV, §1 để định nghĩa tích phân trên của một hàm dương.

(1) Fonction numérique finie—một hàm nhận giá trị trong $\mathbf{R}$—cũng có thể được dịch là "hàm thực" (xem GT, IV, §5, No. 1).

(2) Fonction numérique—"hàm số"—chỉ một hàm nhận giá trị trong $\overline{\mathbf{R}}$ (TG, IV, §5, No. 1). Cụm từ "hữu hạn hay không" đôi khi cũng được thêm vào để nhắc rằng hàm có thể nhận các giá trị vô hạn.

(3) Nhắc lại rằng trong $\overline{\mathbf{R}}$, các tích như $0 \cdot (+\infty)$ không được xác định (GT, IV, §4, No. 3).

MỆNH ĐỀ 1. — Cho $\varphi(t_1, t_2, \ldots, t_n)$ là một hàm số hữu hạn, được xác định và liên tục với $t_i \geq 0$ ($1 \leq i \leq n$), sao cho: $1^\circ$ các hệ thức $t_i > 0$ ($1 \leq i \leq n$) kéo theo $\varphi(t_1, t_2, \ldots, t_n) > 0$; $2^\circ$ hàm $\varphi$ là thuần nhất dương; $3^\circ$ tập hợp $K \subset \mathbf{R}^n$ được xác định bởi các hệ thức $t_i \geq 0$ ($1 \leq i \leq n$), $\varphi(t_1, t_2, \ldots, t_n) \geq 1$ là lồi. Trong các điều kiện đó, nếu $f_1, f_2, \ldots, f_n$ là $n$ hàm hữu hạn $\geq 0$ xác định trên $X$, sao cho $M(f_i) < +\infty$ với $1 \leq i \leq n$, thì

Ta biết, nhờ định lý Hahn-Banach (TVS, II, §5), rằng $K$ là giao của $n$ nửa không gian $t_i \geq 0$ ($1 \leq i \leq n$) và một họ các nửa không gian đóng $(U_\iota)_{\iota \in I}$, trong đó $U_\iota$ được xác định bởi một quan hệ có dạng

trong đó các $\alpha_{\iota k}$ không đồng thời bằng không. Theo giả thiết, nếu $t = (t_i)$ sao cho $t_i > 0$ với $1 \leq i \leq n$, thì $\varphi(t_1, \ldots, t_n) > 0$, do đó tồn tại một $\lambda_0 > 0$ sao cho quan hệ $\lambda \geq \lambda_0$ kéo theo $\lambda t \in K$; điều này cho thấy rằng, với mỗi $\iota \in I$, các quan hệ $t_i \geq 0$ ($1 \leq i \leq n$) kéo theo $\alpha_{\iota 1} t_1 + \cdots + \alpha_{\iota n} t_n \geq 0$ và vì thế $\alpha_{\iota k} \geq 0$ với $1 \leq k \leq n$; khi đó hiển nhiên là $K$ cũng là giao của các nửa không gian $t_i \geq 0$ ($1 \leq i \leq n$) và các $U_\iota$ sao cho $\beta_\iota \geq 0$; hơn nữa, vì gốc tọa độ không thuộc $K$, nên tồn tại ít nhất một chỉ số $\iota$ sao cho $\beta_\iota > 0$.

Bây giờ gọi $C$ là nón lồi trong $\mathbf{R}^{n+1}$ được xác định bởi các hệ thức $t_i \geq 0$ ($1 \leq i \leq n+1$), $t_{n+1} \leq \varphi(t_1, t_2, \ldots, t_n)$ (bao đóng của nón lồi sinh trong $\mathbf{R}^{n+1}$ bởi tập hợp lồi $K \times \{1\}$); ngay lập tức thấy rằng $C$ cũng được xác định bởi các hệ thức $t_i \geq 0$ ($1 \leq i \leq n+1$) và

Do đó, với mọi $x \in X$, ta có

với mọi $\iota \in I$. Với mọi chỉ số $\iota$ sao cho $\beta_\iota > 0$, suy ra từ (4) và các giả thiết về $M$ rằng $M(\varphi(f_1, f_2, \ldots, f_n))$ là hữu hạn và

và quan hệ này cũng được kiểm tra một cách hiển nhiên nếu $\beta_\iota = 0$. Do đó ta thấy rằng điểm có các tọa độ

thuộc $C$, điều này chứng minh mệnh đề.

2. Các bất đẳng thức của Hölder và Minkowski

Trong số này và số tiếp theo, $X$ và $P$ có cùng nghĩa như trong No. 1, và $M$ ký hiệu một hàm xác định trên $P$ thỏa mãn các điều kiện được liệt kê trong No. 1.

MỆNH ĐỀ 2. — Cho $\alpha$ và $\beta$ là hai số sao cho $0 < \alpha < 1$, $0 < \beta < 1$, $\alpha + \beta = 1$. Nếu $f$ và $g$ là hai hàm hữu hạn $\geq 0$ xác định trên $X$, và nếu $M(f)$ và $M(g)$ là hữu hạn, thì

(bất đẳng thức Hölder).

Theo Mệnh đề 1, tất cả quy về việc chứng minh rằng, trong $\mathbf{R}^2$, tập hợp được xác định bởi các quan hệ $t_1 \geq 0$, $t_2 \geq 0$, $t_1^\alpha t_2^\beta \geq 1$ là lồi, hay cũng vậy (FRV, I, §4, No. 1, Định nghĩa 1) rằng hàm $u(t) = t^{-\alpha/\beta}$ là lồi với $0 < t < +\infty$. Bây giờ, đặt $r = \alpha/\beta$, ta có $D^2 u(t) = r(r+1)t^{-r-2}$ và, vì $r > 0$, $D^2 u(t) > 0$ trên $]0, +\infty[$, điều này chứng minh mệnh đề (FRV, I, §4, No. 4, Hệ quả của Mệnh đề 8).

HỆ QUẢ. — Cho $\alpha_i$ ($1 \leq i \leq n$) là $n$ số $\geq 0$ sao cho

Ta có thể chỉ xét trường hợp $\alpha_i > 0$ với mọi $i$. Chỉ cần lập luận bằng quy nạp theo $n$, bằng cách áp dụng bất đẳng thức (5) cho các số $\alpha = \alpha_1$ và $\beta = \sum_{i=2}^n \alpha_i$, và cho các hàm $f = f_1$, $g = (f_2^{\alpha_2} f_3^{\alpha_3} \cdots f_n^{\alpha_n})^{1/\beta}$.

MỆNH ĐỀ 3. — Cho $p$ là một số thực $\geq 1$. Nếu $f$ và $g$ là hai hàm hữu hạn $\geq 0$ xác định trên $X$, thì

(bất đẳng thức Minkowski).

Ta có thể chỉ xét trường hợp $M(f^p)$ và $M(g^p)$ là hữu hạn. Theo Mệnh đề 1, ta được quy về việc chứng minh rằng tập hợp trong $\mathbf{R}^2$ được xác định bởi các quan hệ $t_1 \geq 0,\ t_2 \geq 0,\ t_1^{1/p} + t_2^{1/p} \geq 1$ là lồi, hay cũng chính là hàm $u(t) = (1 - t^{1/p})^p$ là lồi với $0 \leq t \leq 1$. Thật vậy,

với $0 < t \leq 1$, do đó suy ra mệnh đề.

3. Các nửa chuẩn $N_p$

Cho $p$ là một số thực $\geq 1$ và gọi $\mathscr{F}^p(X, M)$ là tập hợp các hàm số hữu hạn $f$ xác định trên $X$ sao cho $M(|f|^p)$ là hữu hạn. Hiển nhiên là nếu $g$ là một hàm thuộc $\mathscr{F}^p(X, M)$ và nếu $|f| \leq |g|$, thì $f$ cũng thuộc $\mathscr{F}^p(X, M)$; nhận xét này và bất đẳng thức Minkowski cho thấy tổng của hai hàm trong $\mathscr{F}^p(X, M)$ cũng thuộc tập hợp này; có tính đến việc $M$ là thuần nhất dương, do đó ta thấy rằng $\mathscr{F}^p(X, M)$ là một không gian con tuyến tính của không gian $\mathbf{R}^X$ gồm mọi hàm số hữu hạn xác định trên $X$.

Với mọi số $p > 0$ và mọi hàm số hữu hạn $f$ xác định trên $X$, đặt

khi đó $N_p(\lambda f) = |\lambda| N_p(f)$ với mọi vô hướng $\lambda$; hơn nữa, nếu $p \geq 1$ thì, theo (7),

điều đó chứng tỏ rằng $N_p$ là một nửa chuẩn trên không gian vectơ $\mathscr{F}^p(X, M)$ (TVS, II, §1).

Mệnh đề 4. — Cho $p$ và $q$ là hai số thực $> 0$ và đặt $1/r = 1/p + 1/q$. Với mọi hàm số hữu hạn $f, g$ xác định trên $X$,

miễn là $N_p(f)$ và $N_q(g)$ là hữu hạn.

Thật vậy, quan hệ (9) có thể được viết thành

đó không là gì khác ngoài bất đẳng thức Hölder (5) áp dụng cho các số $\alpha = r/p$ và $\beta = r/q$ và cho các hàm số $|f|^p$ và $|g|^q$.

HỆ QUẢ. — Giả sử rằng $M(1) = 1$; khi đó, đối với mọi hàm số hữu hạn $f$ xác định trên $X$, ánh xạ $p \mapsto N_p(f)$ là tăng trên $]0, +\infty[$.

Áp dụng bất đẳng thức (9) cho trường hợp $g = 1$, ta thấy rằng $N_r(f) \leq N_p(f)$ với mọi $q > 0$; vì số $r$ được xác định bởi $1/r = 1/p + 1/q$ chạy qua tập hợp các số sao cho $0 < r < p$ khi $q$ chạy qua tập hợp các số $> 0$, hệ quả được chứng minh.

MỆNH ĐỀ 5. — Với mọi hàm số hữu hạn $f$ xác định trên $X$, tập hợp $I$ các giá trị của $1/p$ ($p > 0$) sao cho $N_p(f)$ hữu hạn hoặc là rỗng hoặc là một khoảng; nếu $I$ không quy về một điểm, thì ánh xạ $\alpha \mapsto \log N_{1/\alpha}(f)$ hoặc lồi trên $I$ hoặc bằng $-\infty$ trên phần trong của $I$.

Cho $r$ và $s$ là hai số phân biệt $> 0$ sao cho $1/r$ và $1/s$ thuộc $I$; tất cả quy về việc chứng minh rằng nếu

với $0 < t < 1$, thì

hay, cũng tương đương như vậy,

một quan hệ mà theo định nghĩa của $N_p$ có thể viết thành

Đặt $\alpha = tp/r$, ta có $1-\alpha = (1-t)p/s$ theo quan hệ xác định $p$ như một hàm của $t, r, s$; do đó $p = \alpha r + (1-\alpha)s$. Bất đẳng thức Hölder khi đó cho

mà chính là bất đẳng thức (12).

Bài tập

1) Với các giả thiết của No. 1, hãy chứng minh rằng tập hợp các hàm bị chặn trên X sao cho $M(|f|)$ là hữu hạn là một đại số con A của $\mathbf{R}^X$, và tập hợp các hàm bị chặn trên X sao cho $M(|f|) = 0$ là một iđêan trong A. Nếu, hơn nữa, $M(1)$ là hữu hạn, hãy chứng minh rằng ánh xạ $f \mapsto M(f)$ là liên tục khi A được trang bị tôpô của sự hội tụ đều trên X.

2) Cho X là khoảng $[0, +\infty[$ của $\mathbf{R}$, S là nón lồi tạo bởi các hàm xác định trên X sao cho $0 \leq f(x) \leq kx$ trên X (đối với một số hữu hạn $k > 0$ phụ thuộc vào $f$). Đặt $M(f) = 0$ với $f \in S$, và $M(f) = +\infty$ với mọi hàm dương $f$ xác định trên X và không thuộc S. Hãy chỉ ra rằng $M$ thỏa mãn các điều kiện của No. 1, và rằng $M(x) = 0$, và $M(x^r) = +\infty$ với mọi số $r > 0$ khác 1.

3) Cho một ví dụ trong đó X là một tập hợp có hai phần tử, $N_p(\mathbf{x})$ là hữu hạn với mọi $p > 0$ và mọi $\mathbf{x} \in \mathbf{R}^2$, nhưng tồn tại những giá trị của $p$ sao cho ánh xạ $p \mapsto N_p(\mathbf{x})$ không khả vi tại các điểm đó.

4) Suy ra bất đẳng thức (6) từ bất đẳng thức của trung bình nhân

(FRV, III, §1, No. 1, Prop. 2). (Rút gọn về trường hợp $M(f_i) = 1$ với $1 \leq i \leq n$.)

5) Cho $\alpha$ là một số thực $> 1$ và đặt $\beta = 1 - \alpha < 0$. Cho $g$ là một hàm hữu hạn, xác định trên X, sao cho $g(x) > 0$ với mọi $x \in X$ và sao cho $M(g) > 0$; hãy chứng minh rằng với mọi hàm hữu hạn $f \geq 0$ xác định trên X sao cho $M(f)$ là hữu hạn,

(hãy áp dụng bất đẳng thức Hölder một cách thích hợp).

6) Suy ra bất đẳng thức Minkowski từ bất đẳng thức Hölder (hãy tìm một cận trên của $M((f+g)^{p-1})$ với sự trợ giúp của bất đẳng thức Hölder). Nếu giả thiết rằng $M(f+g) = M(f) + M(g)$ với mọi cặp hàm $f, g$ xác định và $\geq 0$ trên $X$, cũng vậy hãy suy ra từ Bài tập 5 bất đẳng thức

trong các trường hợp sau:

a) $0 < p < 1$, $f$ và $g$ là các hàm hữu hạn $\geq 0$ xác định trên $X$, sao cho $f(x) + g(x) > 0$ với mọi $x \in X$ và sao cho $M(f^p)$ và $M(g^p)$ là hữu hạn;

b) $p < 0$, $f$ và $g$ là các hàm hữu hạn xác định trên $X$, sao cho $f(x) > 0$ và $g(x) > 0$ với mọi $x \in X$, $M(f^p)$ và $M(g^p)$ là hữu hạn, và $M((f+g)^p) > 0$.