Ghi chú lịch sử

(Xin chú ý. — Các chữ số La Mã chỉ thư mục ở cuối ghi chú này.)

Các khái niệm về trung bình cộng và trung bình nhân của hai đại lượng dương đã có từ thời cổ đại; đặc biệt, những người Pythagoras đã xem chúng như một trong những đề tài ưa thích của mình. Cũng có khả năng là bất đẳng thức $\sqrt{ab} \leq \frac{1}{2}(a + b)$ giữa các trung bình này đã quen thuộc đối với họ; dù sao đi nữa, nó được Euclid chứng minh, gắn với bài toán làm cực đại tích của hai số có tổng cho trước. Hình như phải đợi đến mốc khá muộn là năm 1729 mới thấy MacLaurin nêu tường minh phép tổng quát hóa của bài toán này cho $n$ số, cùng với bất đẳng thức tương ứng (điều này xảy ra mặc dù những bài toán cực trị khó hơn nhiều đã được xét đến từ rất lâu trước đó).

Những bất đẳng thức tương tự khác xuất hiện trong Giải tích và Hình học từ cuối thế kỷ thứ 18 trở đi. Chẳng hạn, năm 1789, Lhuilier đã giải một bài toán cực đại hình học liên kết với bất đẳng thức

\sqrt{\left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 + \left( \sum_{k=1}^n b_k \right)^2} \leq \sum_{k=1}^n \sqrt{a_k^2 + b_k^2};

Cauchy, năm 1821, đã chứng minh trường hợp riêng

\left( \sum_{k=1}^n a_k b_k \right)^2 \leq \left( \sum_{k=1}^n a_k^2 \right) \left( \sum_{k=1}^n b_k^2 \right)

của bất đẳng thức Hölder; Buniakowsky năm 1859 và H. A. Schwarz năm 1885 đã tổng quát hóa bất đẳng thức của Cauchy cho các tích phân.

Tuy nhiên, mãi gần cuối thế kỷ thứ 19, các bất đẳng thức lồi mới trở thành đối tượng của một sự nghiên cứu có hệ thống. Năm 1888, O. Hölder (I) đã có ý tưởng đưa các hàm lồi của một biến vào vấn đề này: do đó ông thu được bất đẳng thức của trung bình nhân từ tính lõm của $\log x$ ; áp dụng cùng ý tưởng ấy cho hàm $x^r$ , ông đã chứng minh bất đẳng thức mang tên ông, bất đẳng thức này một năm trước đó đã được L. J. Rogers tìm ra từ bất đẳng thức của trung bình nhân (xem Bài tập 4). Còn đối với bất đẳng thức Minkowski, bất đẳng thức này đã được chính tác giả sau chứng minh vào năm 1896 (đối với các tổng hữu hạn), gắn với những công trình đáng ghi nhớ của ông về ‘Hình học của các số’ ((II), pp. 115-117); tuy nhiên, trong khi ý tưởng lồi (đối với các hàm của một số bất kỳ biến nào) là một trong những khái niệm cơ bản của công trình này, thì khá đáng ngạc nhiên là Minkowski đã không nhận thấy rằng bất đẳng thức của ông có thể thu được bằng phương pháp của Hölder áp dụng cho $(1 + x^r)^{1/r}$ (ông chỉ giới hạn ở việc áp dụng các phương pháp cổ điển để tìm cực trị bằng phép tính vi phân).

Để nghiên cứu sâu hơn các bất đẳng thức lồi và các áp dụng của chúng, độc giả có thể tham khảo cuốn sách của Hardy, Littlewood và Pólya dành riêng cho vấn đề này, cuốn sách cũng chứa một thư mục rất đầy đủ (III).

(I) O. Hölder, Ueber einen Mittelwertsatz, Göttinger Nachrichten (1889), tr. 38-47.

(II) H. Minkowski, Geometrie der Zahlen, ấn bản thứ 2, Leipzig–Berlin (Teubner), 1910.

(III) G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya, Inequalities, Cambridge (University Press), 1934.