Note historique

(N.B. — Les chiffres romains renvoient à la bibliographie placée à la fin de cette note).

Les notions de moyenne arithmétique et géométrique de deux quantités positives remontent à l’Antiquité, et les Pythagoriciens en particulier en avaient fait un de leurs sujets de prédilection. Aussi est-il vraisemblable que l’inégalité $\sqrt{ab} \leq \frac{1}{2}(a + b)$ entre ces moyennes leur était bien connue; elle est en tout cas démontrée par Euclide, à l’occasion du problème consistant à rendre maximum un produit de deux nombres dont la somme est donnée. Il faut apparemment attendre la date tardive de 1729 pour trouver mentionnées explicitement par Maclaurin la généralisation de ce problème à $n$ nombres, et l’inégalité correspondante (et cela, bien que des problèmes d’extremum bien plus difficiles aient été abordés longtemps auparavant).

D’autres inégalités analogues apparaissent en Analyse et en Géométrie à partir de la fin du xviii\textsuperscript{e} siècle. C’est ainsi que Lhuilier, en 1789, résout un problème géométrique de maximum qui se rattache à l’inégalité

\sqrt{\left( \sum_{k=1}^{n} a_k \right)^2 + \left( \sum_{k=1}^{n} b_k \right)^2} \leq \sum_{k=1}^{n} \sqrt{a_k^2 + b_k^2};

Cauchy, en 1821, démontre le cas particulier

\left( \sum_{k=1}^{n} a_k b_k \right)^2 \leq \left( \sum_{k=1}^{n} a_k^2 \right) \left( \sum_{k=1}^{n} b_k^2 \right)

de Hölder; Buniakowsky en 1859 et H. A. Schwarz en 1885 généralisent l’inégalité de Cauchy aux intégrales.

Toutefois, ce n’est guère avant la fin du xixe siècle que les inégalités de convexité firent l’objet d’une étude systématique. O. Hölder, en 1888 (I), a l’idée de faire intervenir dans la question les fonctions convexes d’une variable: il obtient ainsi l’inégalité de la moyenne géométrique en partant de la concavité de $\log x$ ; en appliquant la même idée à la fonction $x^r$ , il démontre l’inégalité qui porte son nom, et qui avait déjà été trouvée un an plus tôt par L. J. Rogers en partant de l’inégalité de la moyenne géométrique (cf. exerc. 4). Quant à l’inégalité de Minkowski, elle fut démontrée par ce dernier en 1896 (pour des sommes finies), à l’occasion de ses mémorables travaux sur la « Géométrie des nombres » ((II), p. 115–117); mais, alors que l’idée de convexité (pour des fonctions d’un nombre quelconque de variables) est une des idées fondamentales de cet ouvrage, il est assez surprenant que Minkowski n’ait pas aperçu que son inégalité s’obtenait par la méthode de Hölder appliquée à $(1 + x^r)^{1/r}$ (il se borne à appliquer les méthodes classiques de recherche d’un extremum par le Calcul infinitésimal).

Pour une étude plus approfondie des inégalités de convexité et de leurs applications, le lecteur pourra consulter le livre de Hardy, Littlewood et Pólya consacré à la question, et qui contient aussi une bibliographie très complète (III).

BIBLIOGRAPHIE

(I) O. Hölder: Ueber einen Mittelwertsatz, Göttinger Nachrichten (1889), p. 38–47. (II) H. Minkowski: Geometrie der Zahlen, 2e éd., Leipzig-Berlin (Teubner), 1910. (III) G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya: Inequalities, Cambridge (University Press), 1934.