§ 1. Định nghĩa các đại số Lie

1. Đại số

Cho M là một môđun có đơn vị trên K cùng với một ánh xạ song tuyến tính $(x, y) \mapsto xy$ từ $M \times M$ vào M. Mọi tiên đề của đại số đều được thỏa mãn, trừ tính kết hợp của phép nhân. Do một sự lạm dụng ngôn ngữ, M được gọi là một đại số trên K không nhất thiết kết hợp, hoặc đôi khi, khi không thể có sự lẫn lộn, là một đại số trên K. Trong số này, chúng tôi sẽ dùng ký hiệu sau cùng.

Nếu K-môđun M được trang bị phép nhân $(x, y) \mapsto yx$ thì ta được một đại số gọi là đại số đối của đại số trên.

Một môđun con-K N của M ổn định đối với phép nhân được trang bị cấu trúc đại số trên K theo một cách hiển nhiên. N được gọi là một đại số con của M. N được gọi là một iđêan trái (ứng. phải) của M nếu các điều kiện $x \in N, y \in M$ kéo theo $yx \in N$ (ứng. $xy \in N$). Nếu N vừa là một iđêan trái vừa là một iđêan phải của M, thì N được gọi là một iđêan hai phía của M. Trong trường hợp này, phép nhân trên M cho phép ta định nghĩa, khi chuyển qua thương, một phép nhân song tuyến tính trên môđun thương $M/N$ sao cho $M/N$ có một cấu trúc đại số. $M/N$ được gọi là đại số thương của M theo N.

† Các mệnh đề được chứng minh trong chương này chỉ phụ thuộc vào các tính chất đã được thiết lập trong các Sách I đến VI và vào một số kết quả của Đại số giao hoán, Chương III, § 2.

Cho $M_1$ và $M_2$ là hai đại số trên $K$ và $\phi$ là một ánh xạ từ $M_1$ vào $M_2$. $\phi$ được gọi là một đồng cấu nếu $\phi$ là $K$-tuyến tính và $\phi(xy) = \phi(x)\phi(y)$ với $x \in M_1, y \in M_1$. Hạt nhân $N$ của $\phi$ là một iđêan hai phía của $M_1$ và ảnh của $\phi$ là một đại số con của $M_2$. Khi chuyển qua thương, $\phi$ xác định một đẳng cấu từ đại số $M_1/N$ lên đại số $\phi(M_1)$.

Cho $M$ là một đại số trên $K$. Một ánh xạ $D$ từ $M$ vào $M$ được gọi là một đạo hàm của $M$ nếu nó là $K$-tuyến tính và $D(xy) = (Dx)y + x(Dy)$ với mọi $x \in M$ và $y \in M$. Định nghĩa này khái quát hóa Định nghĩa 3 của Đại số, Chương IV, § 4, no. 3. Hạt nhân của một đạo hàm của $M$ là một đại số con của $M$. Nếu $D_1$ và $D_2$ là các đạo hàm của $M$, thì $D_1D_2 - D_2D_1$ là một đạo hàm của $M$ (xem Đại số, Chương IV, § 4, no. 3, Mệnh đề 5: chứng minh của mệnh đề này không dùng tính kết hợp của đại số).

Cho $M_1$ và $M_2$ là hai đại số trên $K$. Trên K-môđun tích $M = M_1 \times M_2$ ta định nghĩa một phép nhân bằng cách viết

với mọi $x_1, y_1$ trong $M_1$, $x_2, y_2$ trong $M_2$. Đại số được định nghĩa như vậy được gọi là đại số tích của $M_1$ và $M_2$. Ánh xạ $x_1 \mapsto (x_1, 0)$ (tương ứng. $x_2 \mapsto (0, x_2)$) là một đẳng cấu từ $M_1$ (tương ứng. $M_2$) lên một iđêan hai phía của $M$. Theo các đẳng cấu này, $M_1$ và $M_2$ được đồng nhất với các iđêan hai phía của $M$. Khi đó $K$-môđun $M$ là tổng trực tiếp của $M_1$ và $M_2$. Ngược lại, cho $M$ là một đại số trên $K$ và $M_1, M_2$ là hai iđêan hai phía của $M$ sao cho $M$ là tổng trực tiếp của $M_1$ và $M_2$. Khi đó $M_1M_2 \subset M_1 \cap M_2 = \{0\}$; do đó, nếu $x_1, y_1$ thuộc $M_1$ và $x_2, y_2$ thuộc $M_2$, thì $(x_1 + x_2)(y_1 + y_2) = x_1y_1 + x_2y_2$, vì thế $M$ được đồng nhất với đại số tích $M_1 \times M_2$. Mọi iđêan trái (tương ứng. phải, hai phía) của $M_1$ đều là một iđêan trái (tương ứng. phải, hai phía) của $M$. Chúng tôi để cho người đọc phát biểu các kết quả tương tự trong trường hợp một họ hữu hạn tùy ý các đại số.

Cho $M$ là một đại số trên $K$ và giả sử rằng $K$-môđun $M$ thừa nhận một cơ sở $(a_\lambda)_{\lambda \in L}$. Tồn tại duy nhất một hệ $(\gamma_{\lambda \mu \nu})_{(\lambda, \mu, \nu) \in L \times L \times L}$ gồm các phần tử của $K$ sao cho $a_\lambda a_\mu = \sum_v \gamma_{\lambda \mu v} a_v$ với mọi $\lambda, \mu$ trong $L$. Các $\gamma_{\lambda \mu \nu}$ được gọi là các hằng số cấu trúc của $M$ đối với cơ sở $(a_\lambda)$.

Cho $M$ là một đại số trên $K$, $K_0$ là một vành giao hoán có phần tử đơn vị và $\rho$ là một đồng cấu từ $K_0$ vào $K$ ánh xạ phần tử đơn vị lên phần tử đơn vị. Khi đó $M$ có thể được coi là một đại số trên $K_0$ bằng cách viết $\alpha.x = \rho(\alpha).x$ với $\alpha \in K_0, x \in M$. Đặc biệt đây là trường hợp khi $K_0$ là một vành con của $K$ chứa phần tử đơn vị và $\rho$ được lấy là ánh xạ bao hàm của $K_0$ vào $K$.

Cho $M$ là một đại số trên $K$, $K_1$ là một vành giao hoán có phần tử đơn vị và $\sigma$ là một đồng cấu từ $K$ vào $K_1$ ánh xạ phần tử đơn vị lên phần tử đơn vị. Gọi $M_{(K_1, \sigma)} = M_{(K_1)}$ là $K_1$-môđun dẫn xuất từ $M$ bằng cách mở rộng vành vô hướng thành $K_1$ (Đại số, Chương II, § 5). Tích trên $M$ xác định một cách chính tắc một ánh xạ $K_1$-song tuyến tính từ $M_{(K_1)} \times M_{(K_1)}$ vào $M_{(K_1)}$ (Đại số, Chương IX, § 1, no. 4) sao cho $M_{(K_1)}$ được trang bị một cấu trúc đại số trên $K_1$ (đại số này được nói là dẫn xuất từ $M$ bằng cách mở rộng vành vô hướng thành $K_1$). Đặc biệt đây là trường hợp khi $K$ là một vành con của $K_1$ chứa phần tử đơn vị và $\sigma$ là ánh xạ bao hàm của $K$ vào $K_1$.

2. Đại số Lie

(1)

(2)

với mọi $x, y, z$ trong g.

Tích $[x, y]$ được gọi là ngoặc của $x$ và $y$. Đồng nhất thức (2) được gọi là đồng nhất thức Jacobi.

Ngoặc $[x, y]$ là một hàm song tuyến tính phản xứng của $x$ và $y$. Ta có đồng nhất thức:

(3)

do đó đồng nhất thức Jacobi có thể được viết:

(4)

Mọi đại số con và mọi đại số thương của một đại số Lie đều là đại số Lie. Mọi tích của các đại số Lie đều là một đại số Lie. Nếu $g$ là một đại số Lie, thì đại số đối $g^0$ là một đại số Lie và ánh xạ $x \mapsto -x$ là một đẳng cấu từ $g$ lên $g^0$, do đồng nhất thức (3).

3. Đại số Lie giao hoán

4. Iđêan

Từ đẳng thức (3) suy ra rằng trong một đại số Lie g không có sự phân biệt giữa iđêan trái và iđêan phải, mọi iđêan đều là hai phía. Vì vậy ta chỉ đơn giản nói đến các iđêan.

Ví dụ. Cho G là một nhóm Lie, g đại số Lie của nó và H là một nhóm con Lie của G. Mọi trường vectơ bất biến trái trên H xác định một cách chính tắc một trường vectơ bất biến trái trên G, do đó có một đơn ánh chính tắc của đại số Lie h của H vào g; dưới đơn ánh này, h được đồng nhất với một đại số con Lie của g. Nếu H là chuẩn tắc trong G, ảnh chính tắc của h trong g là một iđêan của g.

Một iđêan của g là một môđun con của g ổn định dưới các đạo hàm nội của g.

5. Chuỗi dẫn xuất, chuỗi trung tâm dưới

Iđêan đặc số $[g, g]$ được gọi là iđêan dẫn xuất của một đại số Lie g và được ký hiệu là $\mathscr{D}g$.

Mọi môđun con của g chứa $\mathscr{D}g$ đều là một iđêan của g.

Chuỗi dẫn xuất của g là dãy giảm $\mathscr{D}^0g, \mathscr{D}^1g, \ldots$ các iđêan đặc số của g được xác định quy nạp như sau: (1) $\mathscr{D}^0g = g$; (2) $\mathscr{D}^{p+1}g = [\mathscr{D}^pg, \mathscr{D}^pg]$.

Chuỗi trung tâm dưới của g là dãy giảm $\mathscr{C}^1g, \mathscr{C}^2g, \ldots$ các iđêan đặc số của g được xác định quy nạp như sau: (1) $\mathscr{C}^1g = g$; (2) $\mathscr{C}^{p+1}g = [g, \mathscr{C}^pg]$. Khi đó $\mathscr{C}^2g = \mathscr{D}g$ và $\mathscr{C}^{p+1}g \supset \mathscr{D}^pg$ với mọi $p$, điều này được thấy ngay lập tức bằng quy nạp theo $p$.

6. Chuỗi trung tâm trên

Cho g là một đại số Lie và P là một tập con của g. Tập trung hoá của P trong g là tập hợp các phần tử của g hoán vị được với các phần tử của P. Tập trung hoá này là giao của các hạt nhân của các ad $y$, khi $y$ chạy qua P; vì vậy nó là một đại số con của g.

7. Mở rộng

trong đó $g$ là một đại số Lie trên $K$, $\mu$ là một đồng cấu toàn ánh của $g$ lên $b$ và $\lambda$ là một đơn cấu của $a$ lên hạt nhân của $\mu$.

Hạt nhân $n$ của $\mu$ được gọi là hạt nhân của mở rộng. Đồng cấu $\lambda$ là một đẳng cấu của $a$ lên $n$ và đồng cấu $\mu$ xác định một đẳng cấu của $g / n$ lên $b$ sau khi chuyển qua thương. Do lạm dụng ngôn ngữ, $g$ cũng được gọi là một mở rộng của $b$ bởi $a$.

Hai mở rộng:

được gọi là tương đương nếu tồn tại một đồng cấu $f$ của $g$ vào $g'$ sao cho biểu đồ sau đây:

là giao hoán (nghĩa là sao cho $f \circ \lambda = \lambda', \mu' \circ f = \mu$). Ta chỉ ra rằng một đồng cấu như vậy tất yếu là song ánh. Trước hết $f$ là đơn ánh. Thật vậy, nếu $x \in g$ sao cho $f(x) = 0$, thì $\mu(x) = \mu'(f(x)) = 0$ và do đó $x = \lambda(y)$ với một $y \in a$ nào đó; khi đó $\lambda'(y) = f(\lambda(y)) = f(x) = 0$, nên $y = 0$ và vì thế $x = 0$. Mặt khác, $f$ là toàn ánh. Thật vậy, $\mu' \circ f = \mu$ là toàn ánh và do đó $f(g) + \lambda'(a) = g'$; mặt khác $f(g) \supset f(\lambda(a)) = \lambda'(a)$.

Từ đó suy ra rằng quan hệ vừa được định nghĩa giữa hai mở rộng của $b$ bởi $a$ là một quan hệ tương đương.

là một mở rộng của b bởi a và n là hạt nhân của nó. Mở rộng này được gọi là không cốt yếu (resp. tầm thường) nếu tồn tại một đại số con (resp. một iđêan) của g bù với n trong g. Mở rộng này được gọi là trung tâm nếu n được chứa trong tâm của g.

Nếu mở rộng là tầm thường, giả sử m là một iđêan của g bù với n trong g. Khi đó (x. no. 1) g được đồng nhất một cách chính tắc với đại số Lie m × n và do đó với đại số Lie a × b. Ngược lại, cho a và b là hai đại số Lie; khi đó a × b là một mở rộng tầm thường của a bởi b.

Một mở rộng trung tâm không cốt yếu là tầm thường. Thật vậy, giả sử g là một đại số Lie, n là một iđêan của g được chứa trong tâm của g và m là một đại số con bù với n trong g. Khi đó [m, g] = [m, m] + [m, n] = [m, m] ⊂ m và do đó m là một iđêan của g.

8. Tích nửa trực tiếp

Cho a và b là hai đại số Lie trên K. Không dễ xây dựng mọi mở rộng của b bởi a. Nhưng ta sẽ mô tả khá đơn giản tất cả các mở rộng không cốt yếu của b bởi a.

Cho g là một mở rộng không cốt yếu của b bởi a. Ta đồng nhất a với một iđêan của g, b với một đại số con của g bù với a, và môđun g với môđun a × b. Với mọi $b \in b$, gọi $\phi_b$ là hạn chế lên a của $\mathrm{ad}_g\ b$; đó là một đạo hàm của a và ánh xạ $b \mapsto \phi_b$ là một đồng cấu từ b vào đại số Lie các đạo hàm của a. Mặt khác, với $a, a'$ trong a và $b, b'$ trong b, ta có:

Ngược lại, cho a và b là các đại số Lie trên K và $b \mapsto \phi_b$ là một đồng cấu từ b vào đại số Lie các đạo hàm của a. Trên tích g của các K-môđun a và b, ta định nghĩa dấu ngoặc của hai phần tử bằng cách viết:

với mọi $a, a'$ trong $a$, $b, b'$ trong $b$. Ngay lập tức thấy rằng dấu ngoặc này là một hàm song tuyến tính phản xứng của $(a, b), (a', b')$; ta chỉ ra rằng, với 3 phần tử $(a, b), (a', b'), (a'', b'')$ của $a \times b$:

(7)

Vì vế trái của (7) là một hàm tam tuyến tính phản xứng của $(a, b), (a', b'), (a'', b'')$, nên chỉ cần kiểm tra khi hệ phần tử này có một trong các dạng sau:

(8) $(a, 0), (a', 0), (a'', 0)$

(9) $(a, 0), (a', 0), (0, b'')$

(10) $(a, 0), (0, b'), (0, b'')$

(11) $(0, b), (0, b'), (0, b'')$.

Trong các trường hợp (8) và (11), hệ thức (7) là một hệ quả ngay lập tức của đồng nhất thức Jacobi trong $a$ và $b$. Trong trường hợp (9), ta có

và hệ thức (7) suy ra từ đẳng thức:

Trong trường hợp (10), ta có:

và hệ thức (7) suy ra từ đẳng thức:

Do đó một cấu trúc đại số Lie đã được xác định trên $g$. Ánh xạ $(a, b) \mapsto b$ từ $g$ lên $b$ là một đồng cấu $\mu$ có hạt nhân $n$ là iđêan gồm các phần tử của $g$ có dạng $(a, 0)$. Ánh xạ $a \mapsto (a, 0)$ là một đẳng cấu $\lambda$ từ $a$ lên $n$. Do đó:

(12)

là một mở rộng của $b$ bởi $a$ có hạt nhân $n$, và được gọi là được xác định một cách chính tắc bởi $a, b, \phi$. Ánh xạ $b \mapsto (0, b)$ là một đẳng cấu $\nu$ từ $b$ lên một đại số con của $g$ bù với $n$ trong $g$; do đó mở rộng này là không cốt yếu.

Nếu $a$ được đồng nhất với $n$ theo $\lambda$ và $b$ với $v(b)$ theo $v$, thì với $a \in a$ và $b \in b$:

Khi $\phi = 0$, $g$ là đại số Lie tích của $b$ và $a$. Trong trường hợp tổng quát, $g$ được gọi là tích nửa trực tiếp của $b$ bởi $a$ (tương ứng với đồng cấu $b \mapsto \phi_b$ từ $b$ vào đại số Lie các phép đạo hàm của $a$).

Vậy chúng ta đã thiết lập được mệnh đề sau:

9. Thay đổi vành cơ sở

Cho $K_0$ là một vành giao hoán có phần tử đơn vị và $\rho$ là một đồng cấu từ $K_0$ vào K ánh xạ phần tử đơn vị thành phần tử đơn vị. Cho $g$ là một đại số Lie trên K. Gọi $g'$ là đại số thu được khi coi $g$ như một đại số trên $K_0$ nhờ $\rho$ (xem no. 1). Khi đó $g'$ là một đại số Lie. Các đại số con (resp. iđêan) của $g$ là các đại số con (resp. iđêan) của $g'$. Nếu $a$ và $b$ là các môđun con của $g$, móc $[a, b]$ là như nhau trong $g$ và trong $g'$; vì $[a, b]$ là tập hợp các phần tử có dạng

trong đó $x_i \in a, y_i \in b$. Suy ra $\mathscr{D}^p g = \mathscr{D}^p g', \mathscr{C}^p g = \mathscr{C}^p g'$ với mọi $p$.