Ghi chú lịch sử

(CHƯƠNG IV, V VÀ VI)

(N.B. - Các chữ số La Mã trong ngoặc đơn tham chiếu đến thư mục ở cuối ghi chú này.)

Các nhóm được xét trong các chương này xuất hiện liên quan đến nhiều bài toán khác nhau của Hình học, Giải tích và Lý thuyết các nhóm Lie, đôi khi dưới dạng các nhóm hoán vị và đôi khi dưới dạng các nhóm chuyển dời trong hình học Euclid hoặc hyperbol, và các quan điểm khác nhau này chỉ mới được thống nhất gần đây.

Các nguồn gốc lịch sử của lý thuyết này về cơ bản có trước sự đưa vào của khái niệm nhóm: thực vậy, chúng được tìm thấy trong các nghiên cứu về "tính chính quy" hoặc "các đối xứng" của các hình hình học, và đặc biệt trong việc xác định các đa giác đều và đa diện đều (điều chắc chắn có từ thời các nhà Pythagore), vốn tạo thành thành tựu đỉnh cao của Các nguyên tố của Euclid và là một trong những sáng tạo đáng khâm phục nhất của thiên tài Hy Lạp. Về sau, đặc biệt với các tác giả Ả Rập thời Trung Cổ cao cấp, rồi với Kepler, những khởi đầu của lý thuyết toán học về các "lát ghép" chính quy của mặt phẳng hoặc mặt cầu bởi các đa giác đồng dạng (không nhất thiết chính quy) xuất hiện; điều này chắc chắn liên quan đến các kiểu trang trí khác nhau do các nền văn minh cổ đại và Ả Rập tạo ra (có thể được xem một cách thích đáng như một phần đích thực của toán học do các nền văn minh này phát triển (XII)).

Khoảng năm 1830-1840, các nghiên cứu về tinh thể học (Hessel, Bravais, Möbius) dẫn đến việc xét một bài toán thực ra là sự xác định các nhóm hữu hạn của các chuyển dời trong không gian Euclid 3 chiều, mặc dù các tác giả được trích dẫn ở trên vẫn chưa sử dụng ngôn ngữ của lý thuyết nhóm; ngôn ngữ đó chỉ thực sự được sử dụng vào khoảng năm 1860, và chính trong bối cảnh phân loại các nhóm mà Jordan, vào năm 1869 (VI), xác định các nhóm rời rạc của các chuyển dời bảo toàn định hướng của $\mathbf{R}^3$ (và, tổng quát hơn, các nhóm con đóng của nhóm các chuyển dời bảo toàn định hướng).

Dòng tư tưởng này phát triển theo nhiều hướng cho đến những năm cuối của thế kỷ 19. Những phát triển quan trọng nhất trong số đó là các phát triển sau:

1. Tiếp tục một xu hướng xuất hiện từ rất sớm trong lý thuyết các nhóm hữu hạn, người ta tìm kiếm các "trình bày" của các nhóm hữu hạn các phép dời hình bằng các sinh và các quan hệ thuộc một kiểu đơn giản. Như vậy, Hamilton, năm 1856 (V), chứng minh rằng các nhóm hữu hạn các phép quay của không gian Euclid $\mathbf{R}^3$ được sinh bởi hai sinh S, T thỏa mãn các quan hệ $S^p = T^q = (ST)^3 = 1$ với các giá trị thích hợp của $p$ và $q$.

2. Các nhóm rời rạc các phép dời hình có thể có hoặc không có các phép phản xạ. Năm 1852, Möbius về cơ bản xác định các nhóm hữu hạn các phép dời hình trong hình học cầu được sinh bởi các phép phản xạ (điều này tương đương với cùng một bài toán đối với các nhóm hữu hạn các phép dời hình Euclid của $\mathbf{R}^3$): ông nhận thấy rằng, ngoại trừ các nhóm cyclic, một nhóm như vậy có miền cơ bản là một tam giác cầu với các cạnh có dạng $\pi/p, \pi/q, \pi/r$, trong đó $p, q, r$ là ba số nguyên $> 1$ sao cho $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} > 1$ (III) (xem Ch. V. § 4, Bài tập 4). Ông cũng nhận thấy rằng các nhóm này chứa tất cả các nhóm hữu hạn các phép dời hình như các nhóm con.

3. Những phát triển sau được mở rộng sang một lĩnh vực mới khi việc nghiên cứu các "lát ghép" của mặt phẳng phức hoặc của nửa mặt phẳng bằng các hình được giới hạn bởi các cung tròn bắt đầu, tiếp theo công trình của Riemann và Schwarz về các hàm hypergeometric và các biểu diễn bảo giác: Klein và Poincaré đặt nó làm nền tảng cho lý thuyết các "hàm tự đẳng" và nhận ra trong đó (đối với trường hợp các cung tròn vuông góc với một đường thẳng cố định) một bài toán tương đương với việc xác định các nhóm rời rạc các phép dời hình của mặt phẳng hyperbolic phi Euclid (được đồng nhất với "nửa mặt phẳng Poincaré") (X).

4. Các khái niệm về đa diện đều và về việc lát $\mathbf{R}^3$ bằng các đa diện như vậy được Schlafli mở rộng tới tất cả các không gian Euclid $\mathbf{R}^n$, trong công trình bắt đầu từ khoảng năm 1850, nhưng chỉ được xuất bản muộn hơn nhiều và trong một thời gian dài không được biết đến (IV); ông xác định hoàn toàn các "đa diện nhiều chiều" đều trong mỗi $\mathbf{R}^n$, nhóm các phép dời hình giữ bất biến một đa diện nhiều chiều như vậy, và một miền cơ bản của nhóm này, cũng như trong trường hợp $n = 3$ được Möbius nghiên cứu, là một "phòng" mà phép chiếu của nó lên mặt cầu $S_{n-1}$ là một đơn hình cầu. Tuy nhiên, ông không xét bài toán ngược về việc xác định các nhóm hữu hạn các phép dời hình được sinh bởi các phép phản xạ trong $\mathbf{R}^n$; bài toán này chỉ được giải quyết rất lâu sau đó, bởi Goursat đối với $n = 4$ (VII), và đối với $n$ bất kỳ trong các công trình của E. Cartan (IX f)) và Coxeter (XIV), mà chúng ta sẽ trở lại sau.

Với công trình của Killing và E. Cartan về các nhóm Lie, một dòng ý tưởng mới bắt đầu xuất hiện vào khoảng năm 1890, dòng này sẽ phát triển trong một thời gian dài mà không có liên hệ với các công trình trước đó. Trong nghiên cứu của Killing (VIII) và Cartan (IX a)) về cấu trúc của các đại số Lie nửa đơn phức, một số dạng tuyến tính $\omega_\alpha$ trên một "đại số con Cartan" $\mathfrak{h}$ của một đại số Lie như vậy $\mathfrak{g}$ ngay lập tức đóng một vai trò cơ bản: chúng là các "nghiệm" đối với $\mathfrak{h}$, được gọi như vậy vì chúng xuất hiện như các nghiệm của phương trình đặc số $\det(\operatorname{ad}_\mathfrak{g}(x) - T) = 0$, được xem như các hàm của $x \in \mathfrak{h}$. Các tính chất của các "nghiệm" này được Killing và Cartan thiết lập tương đương với mệnh đề rằng, theo ngôn ngữ của Chương VI, chúng tạo thành một "hệ căn rút gọn" (xem Chương VI. § 1, no. 4); sau đó họ chỉ ra rằng việc phân loại các đại số Lie nửa đơn phức quy về việc phân loại các "hệ nghiệm" liên kết, mà bản thân nó quy về việc xác định một số ma trận với các hệ số nguyên (sau này được gọi là "ma trận Cartan": xem Chương VI, § 1, no. 5). Killing và Cartan cũng chỉ ra sự tồn tại, với mỗi nghiệm $\omega_{\alpha}$, của một phép hoán vị đối hợp $S_{\alpha}$ của tập hợp các nghiệm$^8$; họ sử dụng một cách cốt yếu phép biến đổi $C = S_{\alpha_1} S_{\alpha_2} \ldots S_{\alpha_l}$, tích của các phép hoán vị liên kết với $l$ nghiệm tạo thành một hệ cơ bản (một phép biến đổi ngày nay được gọi là "phép biến đổi Coxeter"); họ thậm chí còn mở rộng phép hoán vị này thành một phép biến đổi tuyến tính của không gian vectơ sinh bởi các nghiệm cơ bản $\omega_{\alpha_i}$ ($1 \leq i \leq l$), và nghiên cứu các trị riêng của nó ((VIII. II), p. 20; (IX a)), p. 58). Nhưng cả Killing lẫn Cartan lúc đầu dường như đều chưa nghĩ đến việc xét nhóm $G'$ sinh bởi các $S_{\alpha}$; và khi Cartan, một thời gian ngắn sau đó (IX b)), xác định nhóm Galois $G$ của phương trình đặc số

của một "phần tử tổng quát" $x \in \mathfrak{h}$, ông ban đầu nghiên cứu nó mà không đưa các $S_{\alpha}$ vào; ba mươi năm sau, dưới ảnh hưởng của H. Weyl, ông chứng minh (IX c)) rằng $G'$ là một nhóm con chuẩn của $G$ và xác định trong mọi trường hợp cấu trúc của nhóm thương $G/G'$ mà (đối với một đại số Lie đơn $g$) có cấp 1 hoặc 2, ngoại trừ kiểu $D_4$ trong đó nó đẳng cấu với $S_3$; đồng thời ông giải thích $G'$ như là nhóm cảm sinh bởi các tự đẳng cấu nội của một đại số Lie nửa đơn phức giữ cố định một đại số con Cartan$^9$.

Công trình của H. Weyl, mà chúng ta vừa nhắc đến, đã mở đầu cho cách giải thích hình học của nhóm $G'$ (từ đó được gọi là "nhóm Weyl" của $g$); ông đã có ý tưởng xem các $S_{\alpha}$ như các phép phản xạ trong không gian vectơ của các dạng tuyến tính trên $\mathfrak{h}$, giống như Killing và Cartan đã làm đối với phép biến đổi $C$. Cũng chính trong hồi ký (XIII) của H. Weyl mà miền cơ bản của "nhóm Weyl affine" xuất hiện (nhưng không chỉ ra rõ ràng mối liên hệ với "nhóm Weyl" $G'$); Weyl sử dụng nó để chứng minh rằng nhóm cơ bản của một nhóm nén nửa đơn là hữu hạn, một điểm cốt yếu trong chứng minh của ông về tính khả quy hoàn toàn của các biểu diễn tuyến tính của một đại số Lie nửa đơn phức. Một thời gian ngắn sau đó, E. Cartan hoàn thiện sự tổng hợp các quan điểm toàn cục của H. Weyl, của lý thuyết riêng của ông về các đại số Lie nửa đơn thực hoặc phức, và của lý thuyết về các không gian đối xứng Riemann mà khi đó ông đang xây dựng. Trong hồi ký (IX d)), ông hoàn thiện việc xác định các đa diện cơ bản của nhóm Weyl và của nhóm Weyl affine, và đưa vào các hệ trọng số và trọng số căn (Chương VI, § 1, no. 9); trong (IX e)) ông mở rộng thảo luận này đến các không gian đối xứng, và đặc biệt gặp các ví dụ đầu tiên về các hệ nghiệm không rút gọn (Chương VI, § 4, no. 1). Cuối cùng, bài báo (IX f)) đưa ra chứng minh đầu tiên

(8) Các ký hiệu $\omega_{\alpha}$ và $S_{\alpha}$ tương ứng lần lượt với các ký hiệu $\alpha$ và $s_{\alpha}$ của Chương VI, § 1. (9) Các ký hiệu $G$ và $G'$ tương ứng lần lượt với các ký hiệu $A(R)$ và $W(R)$ của Chương VI, § 1, no. 1.

rằng mọi nhóm hữu hạn bất khả quy sinh bởi các phép phản xạ trong $\mathbf{R}^n$ đều có một miền cơ bản mà phép chiếu của nó lên $S_{n-1}$ là một đơn hình cầu; cũng chính trong công trình này ông chứng minh tính duy nhất của nghiệm cao nhất (đối với một thứ tự từ điển tùy ý trên hệ nghiệm) bằng các xem xét hình học.

Một thời gian ngắn sau đó, van der Waerden (XVI), xuất phát từ hồi ký của H. Weyl, chỉ ra rằng việc phân loại các đại số Lie nửa đơn phức tương đương với việc phân loại các hệ căn rút gọn, mà ông thực hiện bằng các xem xét hình học sơ cấp (trong khi với Killing và Cartan, sự phân loại này là kết quả của các tính toán phức tạp với các định thức). Gần như cùng thời gian đó, Coxeter xác định một cách tường minh tất cả các nhóm hữu hạn bất khả quy của các phép dời Euclid được sinh bởi các phép phản xạ (XIV c)); điều này hoàn thiện hồi ký (IX d)) của Cartan, vốn chỉ xác định các nhóm "tinh thể học" (tức là các nhóm liên kết với một hệ nghiệm, hoặc có một nhúng vào một nhóm dời rời rạc vô hạn). Năm sau (XIV d)), Coxeter chỉ ra rằng các nhóm hữu hạn sinh bởi các phép phản xạ là những nhóm hữu hạn duy nhất (tới đẳng cấu) thừa nhận một biểu diễn bởi các sinh tử $R_i$ thỏa mãn các quan hệ dạng $(R_i R_j)^{m_{ij}} = 1$ ($m_{ij}$ số nguyên), do đó có tên là các nhóm "Coxeter" được đặt từ đó cho các nhóm (hữu hạn hoặc không) thừa nhận một biểu diễn như vậy.

Mối liên hệ đầu tiên giữa hai dòng nghiên cứu mà chúng ta đã mô tả ở trên dường như đã được thiết lập bởi Coxeter (XIV bis), rồi bởi Witt (XVII). Họ nhận thấy rằng các nhóm vô hạn bất khả quy của các phép dời hình Euclid được sinh bởi các phép phản xạ tương ứng song ánh (đến đẳng cấu) với các đại số Lie đơn phức. Witt đưa ra một xác định mới về các nhóm rời rạc kiểu này, và cũng mở rộng định lý của Coxeter (XIV d)) đã được dẫn ở trên bằng cách đặc trưng các nhóm Coxeter đẳng cấu với các nhóm rời rạc vô hạn của các phép dời hình Euclid. Kết quả này, và sự kiện rằng các nhóm tương tự trong hình học hyperbolic cũng là các nhóm Coxeter$^{10}$, đã dẫn đến việc các nhóm sau được nghiên cứu trực tiếp, lúc đầu nhấn mạnh sự thực hiện hình học ((XV), (XXV)), rồi sau đó, theo J. Tits (XXV), trong một khuôn khổ thuần túy đại số.

Bắt đầu từ công trình của Witt, lý thuyết các nhóm Lie nửa đơn và lý thuyết các nhóm rời rạc được sinh bởi các phép phản xạ tiếp tục tương tác cực kỳ hiệu quả với nhau. Năm 1941, Stifel (XVIII) nhận xét rằng các nhóm Weyl chính là các nhóm hữu hạn được sinh bởi các phép phản xạ giữ bất biến một dàn. Chevalley (XIX a)) và Harish-Chandra (XX a)) đưa ra, trong các năm 1948-51, các chứng minh a priori về sự tương ứng song ánh giữa các nhóm "tinh thể học" và các đại số Lie nửa đơn phức: cho đến khi đó, người ta chỉ có thể kiểm tra sự tương ứng này riêng biệt cho từng kiểu của đại số Lie đơn.

(10) Các nhóm này, được nghiên cứu sâu trong trường hợp chiều 2, cho đến nay mới chỉ được xét đến một cách tình cờ trong các chiều $\geq 3$.

Mặt khác, vào khoảng năm 1950, người ta nhận thấy rằng các đa thức bất biến dưới nhóm Weyl đóng một vai trò quan trọng trong hai lĩnh vực, lý thuyết các biểu diễn tuyến tính vô hạn chiều (XX a)) và tôpô của các nhóm Lie. Coxeter (XIV f)) một lần nữa tiếp tục nghiên cứu phép biến đổi C thu được bằng cách lấy tích của các phép phản xạ cơ bản của một nhóm hữu hạn W được sinh bởi các phép phản xạ. Ông nhận thấy (bằng cách khảo sát riêng từng kiểu) rằng đại số các đa thức bất biến dưới W được sinh bởi các phần tử độc lập đại số mà các bậc của chúng liên quan theo một cách đơn giản với các giá trị riêng của C. Các chứng minh a priori của các kết quả này được đưa ra bởi Chevalley (XIX b)) trong lĩnh vực thứ nhất, và bởi Coleman (XXIII) và Steinberg (XXIV) trong lĩnh vực thứ hai.

Với công trình của A. Borel về các nhóm đại số tuyến tính (XXII), bắt đầu những phát triển mới dẫn đến sự mở rộng đáng kể của lý thuyết các nhóm Lie. A. Borel nhấn mạnh tầm quan trọng của các nhóm con giải được liên thông cực đại (từ đó được gọi là "các nhóm con Borel") của một nhóm Lie, và biến chúng thành công cụ chính để chuyển một phần lớn lý thuyết cổ điển sang các nhóm đại số trên một trường đóng đại số (nhưng không thu được một phân loại các nhóm đại số đơn$^{11}$). Các nhóm con Borel (trong trường hợp các nhóm cổ điển thực hoặc phức) đã xuất hiện vài năm trước đó trong công trình của Gelfand và Neumark về các biểu diễn vô hạn chiều; và năm 1954, F. Bruhat đã phát hiện ra sự kiện đáng chú ý rằng, đối với các nhóm đơn cổ điển, phân tích của nhóm thành các lớp ghép kép trên một nhóm con Borel được đánh chỉ số một cách chính tắc bởi nhóm Weyl (XXI). Kết quả này sau đó được mở rộng cho tất cả các nhóm nửa đơn thực và phức bởi Harish-Chandra (XX b)). Mặt khác, năm 1955, Chevalley (XIX c)) đã thành công trong việc gắn với mỗi đại số Lie nửa đơn phức g và với mỗi trường giao hoán k, một nhóm các ma trận với các hệ số trong k có một phân tích Bruhat; và ông đã dùng sự kiện cuối cùng này để chỉ ra rằng, với một số ít ngoại lệ, nhóm được xác định như vậy là đơn (theo nghĩa của lý thuyết các nhóm trừu tượng). Như vậy ông đã "giải thích" sự trùng hợp, đã được Jordan và Lie nhận thấy, giữa các nhóm Lie đơn (theo nghĩa của lý thuyết các nhóm Lie) kiểu A, B, C, D và các nhóm đơn cổ điển được xác định theo một cách thuần túy đại số trên một trường tùy ý (một sự trùng hợp mà cho đến khi đó chỉ được mở rộng đến các kiểu ngoại lệ G_2 và F_4 bởi Dickson (XI b) và c))). Đặc biệt, bằng cách lấy một trường hữu hạn k, phép dựng của Chevalley đã cung cấp, đối với mỗi kiểu của đại số Lie đơn phức, một họ các nhóm đơn hữu hạn, chứa một số lượng lớn các nhóm đơn hữu hạn đã biết lúc đó cũng như ba chuỗi mới (tương ứng với các đại số Lie đơn thuộc các kiểu F_4, E_7 và E_8). Ít lâu sau, bằng các phương pháp khác nhau, và sử dụng các biến đổi của các phương pháp của Chevalley, một số tác giả (Herzig, Suzuki,

$^{11}$Một nhóm đại số có chiều > 0 được gọi là đơn (theo nghĩa của hình học đại số) nếu nó không chứa một nhóm con đại số chuẩn nào có chiều > 0 ngoài chính nó. Nó được gọi là nửa đơn nếu nó đẳng sinh với một tích của các nhóm đơn không Abel.

Ree, Steinberg và Tits) đã chỉ ra một mặt rằng các nhóm đơn hữu hạn khác đã biết vào thời điểm đó có thể thu được theo một cách tương tự, ngoại trừ các nhóm phản xạ và các nhóm Mathieu, và mặt khác đã dựng nên các chuỗi khác của các nhóm đơn hữu hạn mới (xem (XXIX)).

Vào khoảng cùng thời gian ấy, Chevalley (XIX d)) lại tiếp tục nghiên cứu các nhóm đại số tuyến tính và đã chỉ ra, bằng kỹ thuật phân tích Bruhat cùng với một kết quả then chốt về nhóm chuẩn hoá của một nhóm con Borel, rằng lý thuyết về các nhóm đại số tuyến tính nửa đơn trên một trường $k$ đóng đại số có đặc số$^{12}$ tùy ý dẫn đến về cơ bản cùng các kiểu như trong phân loại Killing-Cartan đối với $k = \mathbf{C}$. Sau đó, J. Tits (XXV a) và b)), khi phân tích các phương pháp của Chevalley, đã đi tới một phiên bản tiên đề hóa của phân tích Bruhat (các “BN-pairs”), trong một dạng rất linh hoạt chỉ liên quan đến cấu trúc nhóm; chính khái niệm này ngày nay được gọi là một “hệ Tits”. Tất cả các nhóm đơn (theo các nghĩa khác nhau của số hạng này) đã bàn ở trên đều được trang bị một cách chính tắc các hệ Tits, và chính Tits (XXV c)) đã chứng minh rằng sự tồn tại của một hệ như thế trong một nhóm trừu tượng G, cùng với vài tính chất bổ sung từ lý thuyết nhóm thuần túy, cho phép chứng minh rằng G là đơn, một định lý bao quát phần lớn các chứng minh đã được nêu cho đến lúc đó đối với các nhóm này (xem Chap. IV. § 2, no. 6). Mặt khác, cùng với A. Borel, ông đã tổng quát hóa các kết quả của Chevalley trong (XIX d)) bằng cách chứng minh sự tồn tại của các hệ Tits trong nhóm các điểm hữu tỉ của một nhóm đại số tuyến tính nửa đơn trên một trường tùy ý (XXVII).

Tất cả các hệ Tits gặp trong các trường hợp này đều có một nhóm Weyl hữu hạn. Một loại ví dụ khác được Iwahori và Matsumoto (XXVI) phát hiện; họ đã chỉ ra rằng nếu, trong phép dựng của Chevalley ở (XIX c)), $k$ là một trường $p$-adic, thì nhóm thu được có một hệ Tits mà nhóm Weyl của nó là nhóm Weyl afin của đại số Lie phức nửa đơn mà ta đã bắt đầu từ đó. Kết quả này đã được Bruhat và Tits (XXVIII) mở rộng cho mọi nhóm đại số nửa đơn trên một trường địa phương.

(12) Sự tồn tại của nhiều đại số Lie đơn “bệnh lý” trên một trường có đặc số $p > 0$ có lẽ đã khiến một số người nghi ngờ tính phổ quát của phân loại Killing-Cartan.

(I) J. HESSEL, Krysalloometrie hay Krystallonomie và Krystallographie (1830, tái bản trong Ostwald’s Klassiker, số 88 và 89, Leipzig (Teubner), 1897)

(II) A. Bravais, Luận văn về các đa diện có dạng đối xứng, Journal de Math., (1), v. XIV (1849), p. 141-180.

(III) A. MÖBIUS: a) Về định luật đối xứng của các tinh thể và việc áp dụng định luật này vào sự phân chia các tinh thể thành các hệ, J. für die reine und angewandte Math., v. XLIII (1852), p. 365-374 (= Toàn tập, v. II, Leipzig (Hirzel), 1886, p. 349-360); b) Lý thuyết về các hình đối xứng, Toàn tập, v. II, Leipzig (Hirzel), 1886, p. 561-708.

(IV) L. SCHLÄFLI, Lý thuyết về tính liên tục nhiều lần. Denkschr. der Schweiz. naturforsch. Gesellschaft, v. XXXVIII (1901), p. 1-237 (= Các khảo luận toán học, v. I, Basel (Birkhäuser), 1950, p. 167-387).

(V) W. R. HAMILTON, Bản ghi nhớ về một hệ mới các căn của đơn vị, Phil. Mag., (4), v. XII (1856), p. 446.

(VI) C. JORDAN, Luận văn về các nhóm chuyển động, Ann. di Mat., v. II (1868-69), p. 167-215 and 322-345 (= Toàn tập, v. IV, Paris (Gauthier-Villars), 1964, p. 231-302).

(VII) E. GOURSAT, Về các phép thế trực giao và các phân chia đều của không gian, Ann. Ec. Norm. Sup., (3), v. VI (1889), p. 9-102.

(VIII) W. KILLING, Sự hợp thành của các nhóm biến đổi liên tục hữu hạn: I) Math. Ann., v. XXXI (1888), p. 252-290; II) ibid., v. XXXIII (1889), p. 1-48; III) ibid., v. XXXIV (1889), p. 57-122; IV) ibid., v. XXXVI (1890), p. 161-189.

(IX) E. CARTAN: a) Về cấu trúc của các nhóm biến đổi hữu hạn và liên tục (Luận án). Paris (Nony), 1894 (= Toàn tập, Paris (Gauthier-Villars), 1952, v. I1, p. 137-287); b) Về việc rút về dạng chính tắc cấu trúc của một nhóm biến đổi hữu hạn và liên tục, Amer. Journ. of Math., v. XVIII (1896), p. 1-46 (= Toàn tập, Paris (Gauthier-Villars), 1952, v. I1, p. 293-353); c) Nguyên lý đối ngẫu và lý thuyết về các nhóm đơn và nửa đơn, Bull. Sci. Math., v. XLIX (1925), p. 361-374 (= Toàn tập, Paris (Gauthier-Villars), 1952, v. I1, p. 555-568); d) Hình học của các nhóm đơn, Ann. di Mat., (4), v. IV (1927), p. 209-256 (= Toàn tập, Paris (Gauthier-Villars), 1952, v. I2, p. 793-840); e) Về một số dạng Riemann đáng chú ý của các hình học có nhóm cơ bản đơn, Ann. Ec. Norm. Sup., (3), v. XLIV (1927), p. 345-467 (= Toàn tập, Paris (Gauthier-Villars), 1952, v. I2, p. 867-989); f) Bổ sung cho bài “Về hình học của các nhóm đơn”, Ann. di Mat., v, V (1928), p. 253-260 (= Toàn tập, Paris (Gauthier-Villars), 1952, v. I2, p. 1003-1010).

(X) R. FRICKE and F. KLEIN, Lý thuyết về các hàm tự đẳng cấu, Leipzig (Teubner), 1897.

(XI) L. E. DICKSON: a) Lý thuyết về các nhóm tuyến tính trên một trường tùy ý, Trans. Amer. Math. Soc., v. II (1901), p. 363-394; b) Một hệ mới các nhóm đơn, Math. Ann., t. LX (1905), p. 137-150; c) Một lớp các nhóm trên một trường tùy ý liên thông với cấu hình của 27 đường thẳng trên một mặt bậc ba, Quart. Journ. of Math.. v. XXXIII (1901), p. 145-173 và v. XXXIX (1908). p. 205-209.

(XII) A. SPEISER. Lý thuyết về các nhóm có thứ tự hữu hạn, Berlin (Springer), 1924.

(XIII) H. WEYL, Lý thuyết về biểu diễn các nhóm liên tục nửa đơn thông qua các phép biến đổi tuyến tính, Math. Zeitschr., v. XXIII (1925), p. 271-309, v. XXIV (1926), p. 328-395 and 789-791 (= Selecta, Basel-Stuttgart (Birkhäuser), 1956, p. 262-366).

(XIV) H. S. M. COXETER: a) Các nhóm có miền cơ bản là các đơn hình, Journ. Lond. Math. Soc., v. VI (1931), p. 132-136; b) Các đa diện với các hình lăng trụ chính quy, Proc. Lond. Math. Soc., (2), v. XXXIV (1932). p. 126-189; c) Các nhóm rời rạc sinh bởi các phép phản xạ, Ann. of Math., (2), v. XXXV (1934), p. 588-621; d) Sự liệt kê đầy đủ các nhóm hữu hạn có dạng $R_i^2 = (R_i . R_j)^{k_{ij}} = 1$, Journ. Lond. Math. Soc., v. X (1935), p. 21-25; e) Các đa diện chính quy, New York (Macmillan), 1948 (2nd ed., 1963); f) Tích của các phần tử sinh của một nhóm hữu hạn được sinh bởi các phép phản xạ, Duke Math. Journ., v. XVIII (1951), p. 765-782.

(XIV bis) H. S. M. COXETER and H. WEYL, Cấu trúc và các biểu diễn của các nhóm liên tục (Inst. for Adv. Study, ghi chú nhân bản của N. Jacobson và R. Brauer, 1934-35): Phụ lục.

(XV) H. S. M. COXETER and W. O. J. MOSER, Các phần tử sinh và quan hệ cho các nhóm rời rạc, Ergebn. der Math., Neue Folge, Bd. 14, Berlin (Springer), 1957 (2nd ed., 1963).

(XVI) B. L. van der WAERDEN, Sự phân loại các nhóm Lie đơn, Math. Zeitschr., v. XXXVII (1933). p. 446-462.

(XVII) E. WITT, Các nhóm phản xạ và sự liệt kê các vành Lie nửa đơn, Abh. Math. Sem. Hamb. Univ., v. XIV (1941), p. 289-322.

(XVIII) E. STIFEL, Về một mối liên hệ giữa các nhóm Lie đóng và các nhóm chuyển động rời rạc của các không gian Euclid và ứng dụng của chúng vào việc liệt kê các nhóm Lie đơn, Comm. Math. Helv., v. XIV (1941-42), p. 350-380.

(XIX) C. CHEVALLEY: a) Về sự phân loại các đại số Lie đơn và các biểu diễn của chúng, C. R. Acad. Sci., v. CCXXVII (1948), p. 1136-1138; b) Các bất biến của các nhóm hữu hạn sinh bởi các phép phản xạ, Amer. Journ. of Math., v. LXXVII (1955), p. 778-782; c) Về một số nhóm đơn, Tohôku Math. Journ., (2), v. VII (1955), p. 14-66; d) Phân loại các nhóm Lie đại số, 2 vols., Paris (Inst. H. Poincaré), 1956-58.

(XX) HARISH CHANDRA: a) Về một số ứng dụng của đại số bao hàm phổ quát của một đại số Lie nửa đơn, Trans. Amer. Math. Soc., v. LXX (1951), p. 28-96; b) Về một bổ đề của Bruhat, Journ. de Math., (9), v. XXXV (1956), p. 203-210.

(XXI) F. BRUHAT, Các biểu diễn cảm sinh của các nhóm Lie nửa đơn phức, C. R. Acad. Sci., v. CCXXXVIII (1954), p. 437-439.

(XXII) A. BOREL, Các nhóm tuyến tính đại số, Ann. of Math., (2), v. LXIV (1956), p. 20-80. (XXIII) A. J. COLEMAN, Các số Betti của các nhóm đơn, Can. Journ. of Math., v. X (1958), p. 349-356. (XXIV) R. STEINBERG, Các nhóm phản xạ hữu hạn, Trans. Amer. Math. Soc., v. XCI (1959), p. 493-504. (XXV) J. TITS: a) Các nhóm đơn và các hình học liên kết, Proc. Int. Congress Math., Stockholm, 1962, p. 197-221; b) Định lý Bruhat và các nhóm con parabolic, C. R. Acad. Sci., v. CCLIV (1962), p. 2910-2912; c) Các nhóm đơn đại số và trừu tượng, Ann. of Math., (2), v. LXXX (1964), p. 313-329. (XXVI) N. IWAHORI and H. MATSUMOTO, Về một số phân tích Bruhat và cấu trúc của các vành Hecke của các nhóm Chevalley p-adic, Publ. Math. I.H.E.S., no. 25 (1965), p. 5-48. (XXVII) A. BOREL and J. TITS. Các nhóm quy giản, Publ. Math. I.H.E.S., no. 27 (1965), p. 55-150. (XXVIII) F. BRUHAT and J. TITS, Các nhóm đại số đơn trên một trường địa phương, Proc. Conf. on local Fields, p. 23-36. Berlin (Springer), 1967. (XXIX) R. CARTER, Các nhóm đơn và các đại số Lie đơn, Journ. Lond. Math. Soc., v. XL (1965), p. 193-240.

Các số tham chiếu chỉ chương, đoạn và số, tương ứng.

A_l (hệ nghiệm kiểu): VI. 4. 1; VI. 4. 7 và Bảng I. $\tilde{A}_l$ : VI. 4. 3. $A[P]$ : VI. 3. 1. Λ(R): VI. 1. 1. \tilde{\alpha} (nghiệm cao nhất): VI. 1. 8; VI. 4. 3. $\alpha_0 = -\tilde{\alpha}$ : VI. 4. 3. (\alpha_1, \ldots, \alpha_l): VI. 1. 5. $B$ : IV. 2. 1. B(C) (cơ sở được xác định bởi buồng C): VI. 1. 5. B_l (hệ nghiệm kiểu): VI. 4. 1; VI. 4. 5 và Bảng II. $\tilde{B}_l$ : VI. 4. 3. B_M (dạng song tuyến tính liên kết với ma trận Coxeter M): V. 4. 1. C (buồng): V. 1. 3; VI. 1. 5. c (phép biến đổi Coxeter): V. 6. 1; VI. 1. 11. C_l (hệ nghiệm kiểu): VI. 4. 1; VI. 4. 6 và Bảng III. $\tilde{C}_l$ : VI. 4. 3. $\gamma_i, \Gamma_C$ : VI. 2. 3. \gamma(R): VI. 1. 12. d = \prod_{\alpha > 0} (e^{\alpha/2} - e^{-\alpha/2}): VI. 3. 3. D_l (hệ nghiệm kiểu): VI. 4. 1; VI. 4. 8 và Bảng IV. \tilde{D}_l: VI. 4. 3. E: VI. 4. 4. E_6, E_7, E_8 (hệ nghiệm kiểu): VI. 4. 7; VI. 4. 10; VI. 4. 11; VI. 4. 12 và Bảng V, VI, VII. \tilde{E}_6, \tilde{E}_7, \tilde{E}_8: VI. 4. 3. \varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n: VI. 4. 4. F_4 (hệ nghiệm kiểu): VI. 4. 1; VI. 4. 9 và Bảng VIII. \tilde{F}_4: VI. 4. 3. G: VI. 2. 3. G_2 (hệ nghiệm kiểu): VI. 4. 1; VI. 4. 13 và Bảng IX. $\tilde{G}_2$ : VI. 4. 3. $\mathfrak{H}$ : V. 3. 1.

h (số Coxeter): V, 6, 1; VI, 1, 11. H_3, H_4 (hệ Coxeter kiểu): VI, 4, 1. I_2(p) (hệ Coxeter kiểu): VI, 4, 1. $J(c^p) = \sum_{w \in W} \det(w) e^{w(p)}$ : VI, 3, 3. L_0, L_1, L_2, L_3 (các lưới trong \mathbf{R}^n): VI, 4, 4. l(w), l_S(w) (độ dài của một phần tử w): IV, 1, 1. $m(s, s')$ : IV, 1, 9. $N$ : IV, 2, 1. $P(R)$ : VI, 1, 9. $Q(R)$ : VI, 1, 9. R (hệ nghiệm): VI, 1, 1. $R'$ : VI, 1, 1. $\rho= \frac{1}{2} \sum_{\alpha> 0} \alpha$ : VI, 1, 10; VI, 3, 3. $S$ : IV, 1, 1. S(c^p) = \sum_{q \in W.p} e^q: VI, 3, 4. $S_w$ : IV, 1, 8. $T = B \cap N$ : IV, 2, 1. $V$ : VI, 1, 1; VI, 4, 4. $W = N/T$ : IV, 2, 1. $W$ : V, 3, 1. $w_0$ : VI, 1, 6. W(R): VI, 1, 1. W^+(R): VI, 4, Bài tập. $W_X$ : IV, 1, 8. $\Phi_R$ : VI, 1, 12. (\omega_1, \ldots, \omega_l): VI, 1, 10.

Các số tham chiếu chỉ chương, đoạn và số (hoặc, trong trường hợp ngoại lệ, bài tập), tương ứng.

Các buồng kề nhau: IV, 1. Bài tập 15. Affine (nhóm Weyl): VI, 2, 1. Hốc: VI, 2, 1. Góc giữa hai nghiệm: VI, 1, 2. Phản bất biến: V, 5, 4 và VI, 3, 3. Căn hộ: IV, 1. Bài tập 15. Mũi tên: IV. Phụ lục, 1. Liên kết (dạng song tuyến tính với một hệ Coxeter): V, 4, 1. Cơ sở của một hệ nghiệm: VI, 1, 5. Tòa nhà: IV, 1. Bài tập 15. Dạng song tuyến tính chính tắc: VI, 1, 12. Ma trận Cartan chính tắc: VI, 1, 5. Ma trận Cartan: VI, 1, 5. Chuỗi: IV, Phụ lục, 3. Chuỗi các nghiệm: VI, 1, 3. Buồng: V, 1, 3 và V, 3, 1. Buồng của một tòa nhà: IV, 1. Bài tập 15. Các bậc đặc số: V, 5, 1. Chu trình: IV, Phụ lục, 3. Tập đóng các nghiệm: VI, 1, 7. Compact hyperbolic (nhóm Coxeter kiểu ...): V, 4. Bài tập 12. Các thành phần (liên thông của một đồ thị): IV, Phụ lục, 2. Các thành phần (bất khả quy của một hệ Coxeter): IV, 1, 9. Các phần tử liên hợp của một nhóm: IV, 1, 3. Đồ thị liên thông: IV, Phụ lục, 2. Chỉ số liên kết: VI, 1, 9. Biểu diễn đối ngẫu: V, 4, 4. Các lớp kề (kép): IV, 2, 1. Đồ thị Coxeter: IV, 1, 9. Nhóm Coxeter: IV, 1, 3. Ma trận Coxeter: IV, 1, 9.

Số Coxeter: V, 6, 1 và VI, 1, 11. Hệ Coxeter: IV, 1, 3. Phép biến đổi Coxeter: V, 6, 1 và VI, 1, 11. Nhóm kết tinh: VI, 2, 5. Nhóm nhị diện: IV, 1, 2. Trọng số trội: VI, 1, 10. Đồ thị Dynkin: VI, 4, 2. Nhóm cốt yếu sinh bởi các phản xạ: V, 3, 7. Điều kiện trao đổi: IV, 1, 5. Các số mũ của một nhóm Coxeter hữu hạn: V, 6, 2. Mặt của một buồng: V, 1, 4. Mặt (facet): V, 1, 2. Trọng số cơ bản: VI, 1, 10. Rừng: IV, Phụ lục, 3. Phòng trưng bày: IV, 1. Bài tập 15. Đồ thị: IV, Phụ lục, 1. Đồ thị (Dynkin hoàn thiện): VI, 4, 3. Đồ thị (Coxeter): IV, 1, 9. Đồ thị (Dynkin): VI, 4, 2. Nửa không gian: V, 1, 1. Đại số Hecke: V, 2. Bài tập 22. Nghiệm cao nhất: VI, 1, 8. Hyperbolic (nhóm Coxeter kiểu): V, 1. Bài tập 12. Siêu phẳng của một phản xạ giả: V, 2, 1. Nghiệm không chia được: VI, 1, 3. Hệ ngược của các nghiệm: VI, 1, 1. Nhóm bất khả quy sinh bởi các phản xạ: V, 3, 7. Hệ Coxeter bất khả quy: IV, 1, 9. Hệ nghiệm bất khả quy: VI, 1, 2. Các đỉnh nối của một đồ thị: IV, Phụ lục, 1. Độ dài của một đường đi trong đồ thị: IV, Phụ lục, 2. Độ dài của một phần tử của nhóm: IV, 1, 1. Độ dài của một nghiệm: VI, 1, 2. Trọng lượng minuscule: VI, 1. Bài tập 24. Chuẩn hóa: IV, 2, 6. Đồ thị có chuẩn: VI, 4, 2. Các mặt đối diện: IV, 1. Bài tập 18. Đường đi: IV, Phụ lục, 2. Chuỗi Poincaré: V, 5, 1. Đa thức (đại số phân bậc): V, 5, 1. Nghiệm dương: VI, 1, 6. Biểu diễn của một nhóm: IV, 1, 3. Phản xạ giả: V, 2, 1. Các trọng số căn: VI, 1, 9.

Điểm phân nhánh của một đồ thị: IV, Phụ lục, 1. Hạng của một hệ nghiệm: VI, 1, 1. Phân tích rút gọn: IV, 1, 1. Hệ nghiệm rút gọn: VI, 1, 4. Phản xạ: V, 2, 2. Biểu diễn liên kết với một ma trận Cartan: V, 4, 3. Tích trực tiếp hạn chế: IV, 1, 9. Hệ nghiệm: VI, 1, 1. Tập bão hòa của các trọng số: VI, 1. Bài tập 23. Dấu của một phần tử của nhóm Coxeter: IV, 1, 3. Tác động nhóm đơn bắc cầu: IV, 2. Bài tập 3. Đơn hình: V, 1, 6. Nón đơn hình: V, 1, 6. Tòa nhà rộng rãi: IV, 1. Bài tập 24. Điểm đặc biệt: V, 3, 10. Các nghiệm trực giao mạnh: VI, 1, 3. Tòa nhà có cấu trúc: IV, 1. Bài tập 24. Đồ thị con: IV, Phụ lục, 1. Giá của một mặt: V, 1, 2. Đỉnh tận cùng của một đồ thị: IV, Phụ lục, 1. Nhóm con Tits: IV, 2. Bài tập 3. Định lý Tits: V, 4, 4. Cây: IV, Phụ lục, 3. Vectơ của một phản xạ giả: V, 2, 1. Đỉnh của một đồ thị: IV, Phụ lục, 1. Vách của một buồng: V, 1, 4. Các trọng số: VI, 1, 9. Nhóm Weyl của một hệ nghiệm: VI, 1, 1. Nhóm Weyl của một hệ Tits: IV, 2, 1.

CÁC HỆ KIỂU $A_l$ ($l \geqslant 1$)

(I) V là siêu phẳng của $E = \mathbf{R}^{l+1}$ gồm các điểm có tổng các tọa độ bằng không. Các nghiệm: $\varepsilon_i - \varepsilon_j$ ($i \neq j, 1 \leqslant i \leqslant l + 1, 1 \leqslant j \leqslant l + 1$). Số các nghiệm: $n = l(l + 1)$.

(II) Cơ sở: $\alpha_1 = \varepsilon_1 - \varepsilon_2, \alpha_2 = \varepsilon_2 - \varepsilon_3, \ldots, \alpha_l = \varepsilon_l - \varepsilon_{l+1}$. Các nghiệm dương: $\varepsilon_i - \varepsilon_j = \sum_{i \leq k < j} \alpha_k$ ($1 \leq i < j \leq l + 1$).

(III) Số Coxeter: $h = l + 1$.

(IV) Nghiệm cao nhất: $\tilde{\alpha} = \varepsilon_1 - \varepsilon_{l+1} = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_l = \omega_1 + \omega_l$. Đồ thị Dynkin hoàn thiện ($l \geq 2$):

Với $l = 1$, đồ thị Coxeter của nhóm Weyl affine là

(V) $R^- = R$,

(VI) Các trọng số cơ bản:

(VII) Tổng các nghiệm dương:

(VIII) Q(R): tập hợp các vectơ có các tọa độ là số nguyên với tổng bằng không. P(R): sinh bởi Q(R) và $\varepsilon_1 - (l+1)^{-1}(\varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \cdots + \varepsilon_{l+1})$. P(R)/Q(R) là đẳng cấu với $\mathbf{Z}/(l+1)\mathbf{Z}$. Chỉ số liên kết: $l + 1$.

(IX) Các số mũ: 1, 2, ..., l.

(X) W(R) = $\mathfrak{S}_{l+1}$, đồng nhất với nhóm các hoán vị của các $\varepsilon_i$. Cấp của W(R): $(l+1)!$

(XI) $l = 1$: A(R) = W(R); $w_0 = -1$. $l \geq 2$: A(R) = W(R) $\times \{1, -1\}$ và $w_0$ biến đổi $\alpha_i$ thành $-\alpha_{l+1-i}$.

(XII) Nhóm P(R\textsuperscript{})/Q(R\textsuperscript{}) là cyclic có cấp $(l+1)$; nó tác động lên đồ thị Dynkin hoàn chỉnh bởi các phép hoán vị vòng. Nếu $l \geq 2$, phần tử duy nhất khác đơn vị của A(R)/W(R) tác động lên P(R)/Q(R) bởi tự đẳng cấu $x \mapsto -x$.

(XIII) Ma trận Cartan ($l \times l$):

CÁC HỆ KIỂU B_l ($l \geq 2$)

(I) $V = E = \mathbf{R}^l$. Nghiệm: $\pm \varepsilon_i,\ (1 \leq i \leq l),\ \pm \varepsilon_i \pm \varepsilon_j\ (1 \leq i < j \leq l)$. Số nghiệm: $n = 2l^2$.

(II) Cơ sở: $\alpha_1 = \varepsilon_1 - \varepsilon_2, \alpha_2 = \varepsilon_2 - \varepsilon_3, \ldots, \alpha_{l-1} = \varepsilon_{l-1} - \varepsilon_l, \alpha_l = \varepsilon_l$. Các nghiệm dương:

(III) Số Coxeter: $h = 2l$.

(IV) Nghiệm cao nhất:

với $l = 2$:

với $l \geq 3$:

(V) $R^-$ là tập hợp các vectơ

(VI) Các trọng số cơ bản:

(VII) Tổng các nghiệm dương:

(VIII) $Q(R) = \bigoplus_{i=1}^l \mathbf{Z}\varepsilon_i; \ P(R) = \bigoplus_{i=1}^l \mathbf{Z}\varepsilon_i + \mathbf{Z}(\frac{1}{2} \sum_{i=1}^l \varepsilon_i).$

$P(R)/Q(R)$ đẳng cấu với $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$, được sinh bởi ảnh của $\omega_l$.

Chỉ số liên kết: 2.

(IX) Các số mũ: 1, 3, 5, ..., $2l-1$.

(X) $W(R)$ là tích nửa trực tiếp của nhóm $S_l$, tác động bởi các phép hoán vị của các $\varepsilon_i$, với nhóm $(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})^l$, tác động bởi $\varepsilon_i \mapsto (\pm 1)_i \varepsilon_i$. Cấp của nó là $2^l.l!$.

(XI) $A(R) = W(R); w_0 = -1$.

(XII) Phần tử duy nhất khác tầm thường của $P(R^-)/Q(R^-)$ xác định tự đẳng cấu duy nhất khác tầm thường của đồ thị Dynkin hoàn chỉnh.

(XIII) Ma trận Cartan ($l \times l$):

CÁC HỆ KIỂU $C_l$ ($l \geq 2$)

(I) $V = E = \mathbf{R}^l$. Nghiệm: $\pm 2\varepsilon_i,\ (1 \leq i \leq l),\ \pm \varepsilon_i \pm \varepsilon_j\ (1 \leq i < j \leq l)$. Số nghiệm: $n = 2l^2$.

(II) Cơ sở: $\alpha_1 = \varepsilon_1 - \varepsilon_2, \alpha_2 = \varepsilon_2 - \varepsilon_3, \ldots, \alpha_{l-1} = \varepsilon_{l-1} - \varepsilon_l, \alpha_l = 2\varepsilon_l$ Các nghiệm dương:

(III) Số Coxeter: $h = 2l$.

(IV) Nghiệm cao nhất:

(V) $R^-$ là tập hợp các vectơ $\pm \varepsilon_i,\ \pm \varepsilon_i \pm \varepsilon_j$.

(VI) Các trọng lượng cơ bản:

(VII) Tổng các nghiệm dương:

(VIII) Q(R): tập hợp các điểm có tọa độ là các số nguyên với tổng chẵn. P(R) = $\bigoplus_{i=1}^l \mathbf{Z}\varepsilon_i$. P(R)/Q(R) đẳng cấu với $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$, sinh bởi ảnh của $\omega_1$. Chỉ số liên kết: 2.

(IX) Các số mũ: 1, 3, 5, ..., 2l - 1.

(X) W(R) là tích nửa trực tiếp của nhóm $S_l$, tác động bằng các phép hoán vị của các $\varepsilon_i$, bởi nhóm $(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})^l$, tác động bởi $\varepsilon_i \mapsto (\pm 1)_i \varepsilon_i$. Cấp của nó là $2^l l!$.

(XI) A(R) = W(R): $w_0 = -1$.

(XII) Phần tử không tầm thường duy nhất của P(R)/Q(R) xác định tự đẳng cấu không tầm thường duy nhất của đồ thị Dynkin hoàn thiện.

(XIII) Ma trận Cartan ($l \times l$):

CÁC HỆ CÓ KIỂU D_l (l \geq 3)

(I) $V = E = \mathbf{R}^l$. Các nghiệm: $\pm \varepsilon_i \pm \varepsilon_j \ (1 \leq i < j \leq l)$; ($\varepsilon_i$) là cơ sở chính tắc của $\mathbf{R}^l$. Số các nghiệm: $n = 2l(l-1)$.

(II) Cơ sở: $\alpha_1 = \varepsilon_1 - \varepsilon_2, \alpha_2 = \varepsilon_2 - \varepsilon_3, \ldots, \alpha_{l-1} = \varepsilon_{l-1} - \varepsilon_1, \alpha_l = \varepsilon_{l-1} + \varepsilon_l$. Các nghiệm dương:

(III) Số Coxeter: $h = 2l - 2$.

(IV) Nghiệm cao nhất:

!Đồ thị Dynkin

(V) $R^- = R$.

(VI) Các trọng lượng cơ bản:

(VII) Tổng các nghiệm dương:

(VIII) Q(R): tập hợp các điểm có tọa độ là các số nguyên với tổng chẵn.

l lẻ: P(R)/Q(R) đẳng cấu với $\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}$, sinh bởi ảnh của $\omega_l$; ta có $\omega_1 \equiv 2\omega_l$ và $\omega_{l-1} \equiv 3\omega_l$ mod. Q(R).

l chẵn: P(R)/Q(R) đẳng cấu với $(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}) \times (\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})$; ba phần tử cấp 2 là các ảnh của $\omega_1, \omega_{l-1}$ và $\omega_l$.

Chỉ số liên kết: 4.

(IX) Các số mũ: 1, 3, 5, ..., 2l - 5, 2l - 3, l - 1 (số cuối xuất hiện hai lần nếu l chẵn và một lần nếu l lẻ).

(X) W(R) là tích nửa trực tiếp của nhóm $\mathfrak{S}_l$, tác động bằng các phép hoán vị của các $\varepsilon_i$, bởi nhóm $(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})^{l-1}$, tác động bởi $\varepsilon_i \mapsto (\pm 1)_i \varepsilon_i$ với $\prod_i (\pm 1)_i = 1$. Cấp của nó là $2^{l-1} l!$.

(XI) $l \neq 4$: A(R)/W(R) = $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ tác động lên đồ thị Dynkin bằng phép đổi chỗ các đỉnh $\alpha_{l-1}$ và $\alpha_l$.

$l = 4$: A(R)/W(R) = $\mathfrak{S}_3$, tác động lên đồ thị Dynkin bằng cách hoán vị các đỉnh $\alpha_1, \alpha_3$ và $\alpha_4$.

$w_0 = -1$ nếu l chẵn; $w_0 = -\varepsilon$ nếu l lẻ, trong đó $\varepsilon$ là tự đẳng cấu hoán đổi $\alpha_{l-1}$ và $\alpha_l$ và giữ cố định các $\alpha_i$ khác.

(XII) Tác động của $P(R^-)/Q(R^-) = P(R)/Q(R)$ lên đồ thị Dynkin đã hoàn chỉnh: l lẻ: $\omega_l$ biến $\alpha_0$ thành $\alpha_1$, $\alpha_l$ thành $\alpha_1$, $\alpha_1$ thành $\alpha_{l-1}$ và $\alpha_{l-1}$ thành $\alpha_0$: nó hoán đổi $\alpha_j$ và $\alpha_{l-j}$ với $2 \leq j \leq l-2$. l chẵn: $\omega_l$ (tương ứng $\omega_{l-1}$) hoán đổi $\alpha_0$ và $\alpha_l$ (tương ứng $\alpha_0$ và $\alpha_{l-1}$), $\alpha_1$ và $\alpha_{l-1}$ (tương ứng $\alpha_1$ và $\alpha_l$) và hoán đổi $\alpha_j$ và $\alpha_{l-j}$ với $2 \leq j \leq l-2$.

(XIII) Ma trận Cartan ($l \times l$):

HỆ KIỂU E₆

(I) V là không gian con của $\mathbf{E} = \mathbf{R}^8$ gồm các điểm có tọa độ $(\xi_i)$ thỏa mãn $\xi_6 = \xi_7 = -\xi_8$. Các gốc: $\pm \varepsilon_i \pm \varepsilon_j \ (1 \leq i < j \leq 5)$,

(II) Cơ sở: $\alpha_1 = \frac{1}{2} (\varepsilon_1 + \varepsilon_8) - \frac{1}{2} (\varepsilon_2 + \varepsilon_3 + \varepsilon_4 + \varepsilon_5 + \varepsilon_6 + \varepsilon_7)$, $\alpha_2 = \varepsilon_1 + \varepsilon_2$, $\alpha_3 = \varepsilon_2 - \varepsilon_1$, $\alpha_4 = \varepsilon_3 - \varepsilon_2$, $\alpha_5 = \varepsilon_4 - \varepsilon_3$, $\alpha_6 = \varepsilon_5 - \varepsilon_4$. Các nghiệm dương: $\pm \varepsilon_i + \varepsilon_j \ (1 \leq i < j \leq 5)$,

(III) Số Coxeter: $h = 12$.

(IV) Nghiệm cao nhất:

13 Các nghiệm dương khác có thể thu được bằng cách áp dụng Hệ quả 3 của Mệnh đề 19 của Chương VI, § 1, no. 6.

Đồ thị Dynkin hoàn chỉnh:

!Đồ thị Dynkin

(V) $R = R^*,$

(VI) Các trọng số cơ bản:

(VII) Tổng các nghiệm dương:

(VIII) $P(R)/Q(R)$ là đẳng cấu với $\mathbf{Z}/3\mathbf{Z}$. Chỉ số liên kết: 3.

(IX) Các số mũ: 1, 4, 5, 7, 8, 11.

(X) Cấp của $W(R)$: $2^7 \cdot 3^4 \cdot 5$.

(XI) $A(R) = W(R) \times \{1, -1\}$; $w_0$ biến $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5, \alpha_6$, tương ứng, thành $-\alpha_6, -\alpha_2, -\alpha_5, -\alpha_4, -\alpha_3, -\alpha_1$.

(XII) Phần tử khác đơn vị của $A(R)/W(R)$ xác định tự đẳng cấu $x \mapsto -x$ của $P(R)/Q(R)$. Nhóm các tự đẳng cấu của đồ thị Dynkin hoàn chỉnh là đẳng cấu với $S_3$; các phần tử của nó có cấp 3 được cảm sinh bởi hai phần tử không tầm thường của $P(R^-)/Q(R^-)$.

(XIII) Ma trận Cartan: