Bài tập 3, § 10

Giả sử rằng $k$ là $\mathbf{R},\mathbf{C}$, hoặc một trường siêu mêtric ultramêtric đầy đủ rời rạc. Trang bị cho grassmannian $\mathbf{G}(\mathfrak{g})$ của các không gian con vectơ của $\mathfrak{g}$ cấu trúc tự nhiên của đa tạp giải tích trên $k($Đa tạp khả vi và giải tích, Kết quả, 5.2.6). Xét các tập con của $\mathbf{G}(\mathfrak{g})$ được tạo thành bởi:

(i) các đại số con

(ii) các đại số con giải được

(iii) các đại số con lũy linh

(iv) các đại số con gồm các phần tử lũy linh

(v) các đại số con Borel.

Chứng minh rằng các tập con này là đóng (đối với (v), sử dụng Bài tập 2). Suy ra rằng các tập con này là compact khi $k$ là địa phương compact.

Chứng minh bằng các ví dụ rằng các tập con của $\mathbf{G}(\mathfrak{g})$ được tạo thành bởi:

(vi) các đại số con Cartan

(vii) các đại số con khả quy trong $\mathfrak{g}$

(viii) các đại số con nửa đơn

(ix) các đại số con phân tích được

không nhất thiết là đóng, ngay cả khi $k=\mathbf{C}$.