Bài tập 1, § 4

Nhãn 011G, cố định. Trích dẫn là [Bourbaki, Tag 011G].

Nhóm Lie và đại số Lie, VIII, 231

Giữ các ký hiệu của no. 2. Cho $\lambda \in k^B$ . Gắn với mọi $\alpha \in B$ các nội tự đồng cấu $X_{-\alpha}^{\lambda}, H_{\alpha}^{\lambda}, X_{\alpha}^{\lambda}$ của không gian vectơ E sao cho

X_{-\alpha}^{\lambda}(\alpha_1, . . . , \alpha_n) = (\alpha , \alpha_1, . . . , \alpha_n)

H_{\alpha}^{\lambda}(\alpha_1, . . . , \alpha_n) = (\lambda (\alpha )-\sum_{i=1}^nn(\alpha_i, \alpha ))(\alpha_1, . . . , \alpha_n)

Vectơ $X_{\alpha}^{\lambda}(\alpha_1, . . . , \alpha_n)$ được định nghĩa bằng quy nạp theo $n$ bởi công thức

X_{\alpha}^{\lambda}(\alpha_1, . . . , \alpha_n) = (X_{-\alpha_1}^{\alpha}X_{\alpha}^{\lambda}-\delta_{\alpha ,\alpha_1}H_{\alpha}^{\lambda})(\alpha_2, . . . , \alpha_n)

trong đó $\delta_{\alpha ,\alpha_1}$ là ký hiệu Kronecker; ta quy ước rằng, nếu $(\alpha_1, . . . , \alpha_n)$ là từ rỗng, thì $X_{\alpha}^{\lambda}(\alpha_1, . . . , \alpha_n)$ bằng không.

Hãy chỉ ra rằng các Bổ đề 1 và 2 vẫn đúng đối với các nội tự đồng cấu này. Do đó ta thu được một biểu diễn $\rho_{\lambda}:\mathfrak{a}\rightarrow \mathfrak{g}\mathfrak{l}(E)$ sao cho

\rho_{\lambda}(x_{\alpha}) =X_{\alpha}^{\lambda}, \rho_{\lambda}(h_{\alpha}) =H_{\alpha}^{\lambda}, \rho_{\lambda}(x_{-\alpha}) =X_{-\alpha}^{\lambda}

Lời giải

Chưa có lời giải nào được viết.

Được trích dẫn bởi

Exercise 1, § 6

Trích dẫn đến

Không có.