Bài tập 2, § 4

Giữ nguyên các ký hiệu của no. 3. Cho $\mathfrak{m}$ là một iđêan của $\mathfrak{a}$.

a) Cho $\alpha$ và $\beta$ là hai phần tử phân biệt của B. Giả sử rằng (ad $x_{\alpha}$)$^Nx_{\beta}$ thuộc $\mathfrak{m}$ với N đủ lớn. Chứng minh rằng $x_{\alpha \beta}\in \mathfrak{m}$. (Áp dụng các kết quả của §1, no. 2 cho $\mathfrak{a}/\mathfrak{m}$, được trang bị một cấu trúc $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k$)-môđun thích hợp.)

b) Chứng minh rằng $\mathfrak{n}+\theta \mathfrak{n}$ là iđêan có đối chiều hữu hạn nhỏ nhất của $\mathfrak{a}$. Chứng minh rằng đây cũng là iđêan nhỏ nhất chứa (ad $x_{\alpha}$)$^4x_{\beta}$ và (ad $x_{-\alpha}$)$^4x_{-\beta}$.