Bài tập 5, § 4

a) Cho $\mathfrak{g}$ là một đại số Lie đơn, và $k_1$ là hoán tập của biểu diễn adjoint của $\mathfrak{g}$. Hãy chỉ ra rằng $k_1$ là một trường giao hoán, một mở rộng hữu hạn của $k$, và rằng $\mathfrak{g}$ là một $k_1$-đại số Lie đơn tuyệt đối.

Ngược lại, nếu $k_1$ là một mở rộng hữu hạn của $k$, và $\mathfrak{g}$ là một $k_1$-đại số Lie đơn tuyệt đối, thì $\mathfrak{g}$ là một $k$-đại số Lie đơn, và hoán tập của biểu diễn adjoint của nó có thể được đồng nhất với $k_1$.

b) Cho $k'$ là một mở rộng Galois của $k$ chứa $k_1$. Hãy chỉ ra rằng $\mathfrak{g}_{(k')}$ là một tích của $[k_1:k]$ đại số đơn tuyệt đối. Khi $\mathfrak{g}_{(k')}$ là tách, các đại số này đôi một đẳng cấu. (Dùng Bài tập 4.)