Bài tập 2, § 9

Chứng minh rằng tồn tại một hàm đa thức duy nhất $d$ trên $\mathfrak{h}^*$ sao cho $d(\lambda ) =$ dim $E(\lambda )$ với mọi $\lambda \in P_{++}$; bậc của nó là Card(R$_+$). Ta có

$d(w\lambda -\rho ) =\varepsilon (w)d(\lambda -\rho )$ nếu $w\in W, \lambda \in \mathfrak{h}^*$.

Đặc biệt, hàm $\lambda \rightarrow d(\lambda -\rho )^2$ là bất biến dưới tác dụng của W. Suy ra rằng tồn tại một phần tử duy nhất $u$ của tâm của $U(\mathfrak{g})$ sao cho $\chi_{\lambda}(u) =d(\lambda )^2$ với mọi $\lambda \in \mathfrak{h}^*$ (áp dụng Định lý 2 của §8, no. 5). Khi $\mathfrak{g}=\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$, ta có $u= C+1$, trong đó C là phần tử được định nghĩa trong Exerc. 1 của §1.