Bài tập 4, § 9

Giả sử rằng $\mathfrak{g}$ là đơn, và ký hiệu bởi $\gamma$ phần tử của $R_+$ sao cho $H_{\gamma}$ là nghiệm cao nhất của $R^{\vee}$; viết $H_{\gamma}=\sum_{\alpha\in B}n_{\alpha}H_{\alpha}$. Ta có $\langle \rho , H_{\gamma}\rangle =$ $\sum n_{\alpha}=h-1$, trong đó $h$ là số Coxeter của R (Chương VI, §1, no. 11, Mệnh đề 31).

a) Cho $\alpha \in B$. Chứng minh rằng, với mọi $\beta \in R_+$,

và đẳng thức xảy ra nếu $\beta =\gamma$. Suy ra rằng mọi nhân tử nguyên tố của dim $E(\varpi_{\alpha})$ đều $\leq h+n_{\alpha}-1$.

b) Giả sử rằng $\varpi_{\alpha}$ không là minuscule, tức là $n_{\alpha}\geq 2$. Cho $m\in 2, n_{\alpha}$ và $p=h+m-1$. Kiểm tra (x. Chương VI, Các bảng) rằng tồn tại $\beta \in R_+$ sao cho $\langle \varpi_{\alpha}, H_{\beta}\rangle =n_{\alpha}$ và $\langle \rho , H_{\beta}\rangle =h-1-(n_{\alpha}-m)$, do đó $\langle \varpi_{\alpha}+\rho , H_{\beta}\rangle =p$. Suy ra rằng, nếu $p$ là số nguyên tố, thì $p$ chia hết dim $E(\varpi_{\alpha})$. (Nhận xét rằng $p$ không chia bất kỳ số nào trong các $\langle \rho , H_{\beta}\rangle$ với $\beta \in R_+$, x. Bài tập 3.)

c) Khi $\mathfrak{g}$ thuộc kiểu $G_2$ (tương ứng $F_4,E_8$), ta có $h= 6$ (tương ứng $12,30$), và dim $E(\varpi_{\alpha})$ chia hết cho 7 (tương ứng $13,31$), Khi $\mathfrak{g}$ thuộc kiểu $E_6$ (tương ứng $E_7$), và $\varpi_{\alpha}$ không là minuscule, dim $E(\varpi_{\alpha})$ chia hết cho 13 (tương ứng 19).