Bài tập 7, § 9

Ta giữ lại các ký hiệu của chứng minh Định lý 2.

a) Chứng minh rằng

b) Lấy $(\cdot | \cdot )$ là dạng song tuyến tính chính tắc $\Phi_R$ (Chương VI, §1, no. 12). Chứng minh rằng

$^{18}$Để biết thêm chi tiết về bài tập này, xem: H. FREUDENTHAL, Zur Berechnung der

Charaktere der halbeinfachen Lieschen Gruppen, Proc. Kon. Akad. Wet. Amsterdam, Vol. LVII (1954), pp. 369-376.

$f_{\rho}(J(e^\mu))\equiv d_\mu T^N(1 +\frac{T^2}{48}(\mu|\mu))$ (mod$.T^{N+3}\mathbf{R}[[T]]$),

trong đó $d_\mu=\prod_{\alpha\in R_+}(\mu|\alpha )$.

c) Từ b) và đẳng thức $J(e^{\lambda+\rho}) =$ ch(E)$.J(e^{\rho})$, suy ra công thức

$\sum(\mu|\rho )^2$ dim $E^\mu=$ dim E24 $(\lambda |\lambda + 2\rho )$.

$\mu\in P$

d) Giả sử rằng $\mathfrak{g}$ là đơn. Chứng minh rằng $(\rho |\rho ) =$ dim $\mathfrak{g}/24$. (Áp dụng $c$) với $\lambda$ là nghiệm cao nhất của R, và sử dụng Bài tập 3 của §6.)