Bài tập 8, § 9

Cho $\psi$ là một hàm đa thức trên $\mathfrak{h}^*$ bậc $r$. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một hàm đa thức $\Psi$ trên $\mathfrak{h}^*$ bất biến đối với W, bậc $\leq r$, và sao cho

$\sum_{\alpha\in P}\psi (\mu)$ dim $E^\mu=\Psi (\lambda +\rho )$ dim E

với mọi $\mathfrak{g}$-môđun đơn E có trọng số cao nhất $\lambda$.

(Xét trước trường hợp $\psi (\mu) = (\mu|\nu )^r$, trong đó $\nu \in P$ không trực giao với bất kỳ nghiệm nào; để làm điều này hãy dùng đồng cấu $f_{\nu}$ trong chứng minh của Định lý 2 và Chương V, §5, no. 4, Mệnh đề 5 (i).)