Bài tập 1, § 1

Cho $B$ là một không gian tôpô, cho $(X, p)$ và $(Y, q)$ là các $B$-không gian và cho $f: X\rightarrow Y$ là một ánh xạ sao cho $q\circ f=p$. Cho $A$ là một không gian tôpô và cho $g: A\rightarrow B$ là một ánh xạ liên tục. Xét cấu xạ $A$- $f_A: X_A\rightarrow Y_A$ suy ra từ $f$ bằng thay đổi cơ sở.

(a) Cho một ví dụ trong đó ánh xạ $f_A$ là liên tục, ánh xạ $g$ là toàn ánh nhưng ánh xạ $f$ không liên tục.

(b) Giả sử rằng $g$ là toàn ánh và ngặt phổ quát và rằng $f_A$ là liên tục. Chứng minh rằng $f$ là liên tục.

(c) Giả sử rằng ánh xạ $g$ là toàn ánh và rằng các ánh xạ $q$ và $f_A$ là mở. Chứng minh rằng $f$ là mở.