Exercice 1, § 1

Soit B un espace topologique, soient $(X, p)$ et $(Y, q)$ des B-espaces et $f: X\rightarrow Y$ une application telle que $q\circ f=p$. Soient A un espace topologique et $g: A\rightarrow B$ une application continue. On considère le A-morphisme $f_A: X_A\rightarrow Y_A$ déduit de $f$ par changement de base.

a) Donner un exemple où l’application $f_A$ est continue, l’application $g$ est surjective mais où l’application $f$ n’est pas continue.

b) On suppose que $g$ est surjective et universellement stricte et que $f_A$ est continue. Prouver que $f$ est continue.

c) On suppose que l’application $g$ est surjective et que les applications $q$ et $f_A$ sont ouvertes. Démontrer que $f$ est ouverte.