Bài tập 4, § 1

Cho $Q = (S,F, o, t)$ là một quiver. Ta ký hiệu I là tập hợp tổng của họ $(S,F)$; ta đồng nhất S và F với các tập con của I. Cho $k$ là một vành giao hoán. Ta gọi đại số $k$ của quiver Q là thương $A_Q$ của đại số kết hợp tự do $k$ trên tập hợp I theo iđêan hai phía sinh bởi các phần tử $X^2_s-X_s$ (với $s\in S$), $X_uX_v-X_vX_u$ (với $u, v\in S$), $X_fX_{t(f)}-X_f$ và $X_{o(f)}X_f-X_f$ (với $f\in F$). Với $i\in I$, ta ký hiệu $x_i$ là ảnh của $X_i$ trong đại số $A_Q$.

(a) Chứng minh rằng có $\sum_{s\in S}x_s= 1$.

(b) Chứng minh rằng có $x_fx_g= 0$ nếu $f$ và $g$ là các mũi tên của Q không hợp thành được.

(c) Với mọi đường đi $c= (a_0, f_1, . . . , f_n, a_n)$ trong Q, đặt $x_c$ = $x_{a_0}x_{f_1}. . . x_{f_n}$. Cho $c$ và $c'$ là các đường đi trong Q; chứng minh rằng có $x_cx_{c'}=x_{cc'}$ nếu $c$ và $c'$ hợp thành được, và $x_c=x_{c'}$ trong trường hợp ngược lại.

(d) Cho C là tập hợp các đường đi trong quiver Q; chứng minh rằng họ $(x_c)_{c\in C}$ là một cơ sở của $k$-môđun $A_Q$.

(e) Cho $J_Q$ là iđêan hai phía của $A_Q$ sinh bởi các phần tử có dạng $x_f$, với $f\in F$. Chứng minh rằng đại số $A_Q/J_Q$ là đẳng cấu với $k^{(S)}$.

(f) Để đại số $k$ $A_Q$ là một $k$-môđun sinh hữu hạn, điều kiện cần và đủ là tập hợp các đỉnh của Q là hữu hạn và mọi vòng trong Q đều có độ dài không. Khi đó iđêan $J_Q$ là lũy linh.

Ta giữ lại các ký hiệu này cho phần còn lại của các bài tập của §1. Khi ta nói đến một $A_Q$-môđun (không có chỉ định thêm), đó là một môđun phải. Nếu A là một vành, một A-môđun M (không có chỉ định thêm) sẽ là một A-môđun phải; nếu $a$ là một phần tử của A, ta ký hiệu bởi $a_M$ hoặc $(a)_M$ phép vị tự $x\mapsto xa$ của M.