Exercice 4, § 1

Soit $Q = (S,F, o, t)$ un carquois. On note I l’ensemble somme de la famille $(S,F)$; on identifie S et F à des parties de I. Soit $k$ un anneau commutatif. On appelle $k$-algèbre du carquois Q le quotient $A_Q$ de la $k$-algèbre associative libre sur l’ensemble I par l’idéal bilatère engendré par les éléments $X^2_s-X_s$ (pour $s\in S$), $X_uX_v-X_vX_u$ (pour $u, v\in S$), $X_fX_{t(f)}-X_f$ et $X_{o(f)}X_f-X_f$ (pour $f\in F$). Pour $i\in I$, on note $x_i$ l’image de $X_i$ dans l’algèbre $A_Q$.

a) Démontrer que l’on a $\sum_{s\in S}x_s= 1$.

b) Prouver que l’on a $x_fx_g= 0$ si $f$ et $g$ sont des flèches de Q qui ne sont pas composables.

c) Pour tout chemin $c= (a_0, f_1, . . . , f_n, a_n)$ dans Q, on pose $x_c$ = $x_{a_0}x_{f_1}. . . x_{f_n}$. Soient $c$ et $c'$ des chemins dans Q; démontrer que l’on a $x_cx_{c'}=x_{cc'}$ si $c$ et $c'$ sont composables, et $x_c=x_{c'}$ sinon.

d) Soit C l’ensemble des chemins dans le carquois Q; démontrer que la famille $(x_c)_{c\in C}$ est une base du $k$-module $A_Q$.

e) Soit $J_Q$ l’idéal bilatère de $A_Q$ engendré par les éléments de la forme $x_f$, pour $f\in F$. Démontrer que l’algèbre $A_Q/J_Q$ est isomorphe à $k^{(S)}$.

f) Pour que la $k$-algèbre $A_Q$ soit un $k$-module de type fini, il faut et il suffit que l’ensemble des sommets de Q soit fini et que tout lacet dans Q soit de longueur nulle. L’idéal $J_Q$ est alors nilpotent.

Nous conservons ces notations pour la suite des exercices du §1. Lorsque nous parlons d’un $A_Q$-module (sans préciser), il s’agit d’un module à droite. Si A est un anneau, un A-module M (sans préciser) sera un A-module à droite ; si $a$ est un élément de A, on note $a_M$ ou $(a)_M$ l’homothétie $x\mapsto xa$ de M.