Bài tập 6, § 1

(a) Cho $(M_s)_{s\in Som(Q)}$ là một họ các $k$-môđun và cho $(u_f)_{f\in Fl(Q)}$ là một họ sao cho, với mọi $f\in$ Fl(Q)$,u_f$ là một ánh xạ tuyến tính từ $M_{o(f)}$ vào $M_{t(f)}$. Gọi M là tổng trực tiếp của họ $(M_s)$; với $s\in S$, ký hiệu $j_s$ là đơn ánh chính tắc từ $M_s$ vào M và $p_s$ là phép chiếu chính tắc của M lên $M_s$. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một cấu trúc $A_Q$-môđun trên M sao cho ta có $(x_s)_M=j_s\circ p_s$ và $(x_f)_M=j_{t(f)}\circ u_f\circ p_{o(f)}$ với mọi $s\in$ Som(Q) và mọi $f\in$ Fl(Q).

Ngược lại, mọi $A_Q$-môđun đều có dạng này.

(b) Nếu Λ là một $k$-môđun và $s\in$ Som(Q), ký hiệu $\Lambda (s)$ là $A_Q$-môđun liên kết với họ $(M_i)_{i\in Som(Q)}$ các $k$-môđun được cho bởi $M_i= \Lambda$ nếu $i=s$ và $M_i= 0$ trong các trường hợp khác, và với họ $(u_f)_{f\in Fl(Q)}$ các ánh xạ tuyến tính, trong đó $u_f$ = 0 với mọi $f\in$ Fl(Q).

Cho Λ và $\Lambda '$ là các $k$-môđun khác không. Cho $s$ và $s'$ là các đỉnh của Q. Chứng minh rằng $\Lambda (s)$ đẳng cấu với $\Lambda '(s')$ khi và chỉ khi Λ và $\Lambda '$ là các $k$-môđun đẳng cấu và $s=s'$.

(c) Nếu Λ là một $k$-môđun đơn, thì $\Lambda (s)$ là một $A_Q$-môđun đơn với mọi đỉnh $s$.

(d) Giả sử thêm rằng mọi vòng trong Q đều có độ dài không. Chứng minh rằng mọi $A_Q$-môđun đơn đều có dạng $\Lambda (s)$, trong đó Λ là một $k$-môđun đơn và $s$ là một đỉnh của Q.