Exercice 6, § 1

a) Soit $(M_s)_{s\in Som(Q)}$ une famille de $k$-modules et soit $(u_f)_{f\in Fl(Q)}$ une famille où, pour tout $f\in$ Fl(Q)$,u_f$ est une application linéaire de $M_{o(f)}$ dans $M_{t(f)}$. Soit M la somme directe de la famille $(M_s)$ ; pour $s\in S$, notons $j_s$ l’injection canonique de $M_s$ dans M et $p_s$ la projection canonique de M sur $M_s$. Démontrer qu’il existe une unique structure de $A_Q$-module sur M telle que l’on ait $(x_s)_M=j_s\circ p_s$ et $(x_f)_M=j_{t(f)}\circ u_f\circ p_{o(f)}$ pour tout $s\in$ Som(Q) et tout $f\in$ Fl(Q).

Inversement, tout $A_Q$-module est de cette forme.

b) Si Λ est un $k$-module et $s\in$ Som(Q), on note $\Lambda (s)$ le $A_Q$-module associé à la famille $(M_i)_{i\in Som(Q)}$ de $k$-modules donnée par $M_i= \Lambda$ si $i=s$ et $M_i= 0$ sinon, et à la famille $(u_f)_{f\in Fl(Q)}$ d’applications linéaires, où $u_f$ = 0 pour tout $f\in$ Fl(Q).

Soient Λ et $\Lambda '$ des $k$-modules non nuls. Soient $s$ et $s'$ des sommets de Q. Démontrer que $\Lambda (s)$ est isomorphe à $\Lambda '(s')$ si et seulement si Λ et $\Lambda '$ sont des $k$-modules isomorphes et si $s=s'$.

c) Si Λ est un $k$-module simple, alors $\Lambda (s)$ est un $A_Q$-module simple pour tout sommet $s$.

d) On suppose de plus que tout lacet dans Q est de longueur nulle. Démontrer que tout $A_Q$-module simple est de la forme $\Lambda (s)$, où Λ est un $k$-module simple et $s$ un sommet de Q.