Bài tập 9, § 1

(a) Cho M và N là các $A_Q$-môđun; với $s\in$ Som(Q), đặt $M_s=$ $Mx_s$ và $N_s= Nx_s$. Với $\varphi = (\varphi_s)_{s\in Som(Q)}$ và $f\in$ Fl(Q), định nghĩa một ánh xạ $\theta_f(\varphi ): Mx_{o(f)}\rightarrow Nx_{t(f)}$ bằng cách đặt

Chứng minh rằng ánh xạ

$\theta :\prod$ Hom$_k(M_s,N_s)\rightarrow \prod$ Hom(M$_{o(f)},N_{t(f)}$)

$s\in$Som(Q) $f\in$Fl(Q)

cho bởi $\varphi \mapsto (\theta_f(\varphi ))_{f\in Fl(Q)}$ là tuyến tính.

(b) Chứng minh rằng Ker($\theta$ ) đẳng cấu với Hom$_{A_Q}(M,N)$ và Coker($\theta$ ) đẳng cấu với Ext$^1_{A_Q}(M,N)$. Chứng minh rằng Ext$^p_{A_Q}(M,N) = 0$ với mọi số nguyên $p\geqslant 2$.

(c) Giả sử $k$ là một trường giao hoán và quiver Q là hữu hạn. Nếu M và N là các không gian vectơ $k$ hữu hạn chiều, thì Ext$^p_{A_Q}(M,N)$ là một không gian vectơ $k$ hữu hạn chiều với mọi số nguyên $p\geqslant 0$, bằng không với $p\geqslant 2$, và

dim$_k$(Hom$_{A_Q}(M,N)$)$-$ dim$_k$(Ext$^1_{A_Q}(M,N)$)

= $\sum$ dim(M$_s$) dim(N$_s$)$-\sum$ dim(M$_{o(f)}$) dim(N$_{t(f)}$).

$s\in$Som(Q) $f\in$Fl(Q)

(d) Giả sử $k$ là một trường giao hoán. Chứng minh rằng với mọi cặp $(u, v)$ các đỉnh của Q, chiều của không gian vectơ Ext$^1_{A_Q}(k(u), k(v))$ bằng lực lượng của tập hợp các mũi tên của Q có điểm gốc $v$ và số hạng $u$.