Exercice 9, § 1

a) Soient M et N des $A_Q$-modules ; pour $s\in$ Som(Q), on pose $M_s=$ $Mx_s$ et $N_s= Nx_s$. Pour $\varphi = (\varphi_s)_{s\in Som(Q)}$ et $f\in$ Fl(Q), on définit une application $\theta_f(\varphi ): Mx_{o(f)}\rightarrow Nx_{t(f)}$ en posant

Démontrer que l’application

$\theta :\prod$ Hom$_k(M_s,N_s)\rightarrow \prod$ Hom(M$_{o(f)},N_{t(f)}$)

$s\in$Som(Q) $f\in$Fl(Q)

donnée par $\varphi \mapsto (\theta_f(\varphi ))_{f\in Fl(Q)}$ est linéaire.

b) Démontrer que Ker($\theta$ ) est isomorphe à Hom$_{A_Q}(M,N)$ et que Coker($\theta$ ) est isomorphe à Ext$^1_{A_Q}(M,N)$. Démontrer que Ext$^p_{A_Q}(M,N) = 0$ pour tout entier $p\geqslant 2$.

c) On suppose que $k$ est un corps commutatif et que le carquois Q est fini Si M et N sont des $k$-espaces vectoriels de dimension finie, alors Ext$^p_{A_Q}(M,N)$ est un $k$-espace vectoriel de dimension finie pour tout entier $p\geqslant 0$, nulle pour $p\geqslant 2$, et

dim$_k$(Hom$_{A_Q}(M,N)$)$-$ dim$_k$(Ext$^1_{A_Q}(M,N)$)

= $\sum$ dim(M$_s$) dim(N$_s$)$-\sum$ dim(M$_{o(f)}$) dim(N$_{t(f)}$).

$s\in$Som(Q) $f\in$Fl(Q)

d) On suppose que $k$ est un corps commutatif. Démontrer que pour tout couple $(u, v)$ de sommets de Q, la dimension de l’espace vectoriel Ext$^1_{A_Q}(k(u), k(v))$ est égale au cardinal de l’ensemble des flèches de Q d’origine $v$ et de terme $u$.