Bài tập 4, § 2

Cho G là một đồ thị hữu hạn và $Q = (S,F, o, t)$ là quiver cơ sở của nó. Ta trang bị cho không gian $\mathbf{C}^S$ cấu trúc không gian Hermit duy nhất mà đối với nó cơ sở chính tắc là trực chuẩn. Gọi $L:\mathbf{C}^S\rightarrow \mathbf{C}^S$ là ánh xạ được cho bởi $L(u)(x) =\sum_{o(f)=x}(u(t(f))-u(x))$ với $x\in S$ và $u\in \mathbf{C}^S$.

(a) Chứng minh rằng tự đồng cấu L của $\mathbf{C}^S$ là dương (EVT, V, p. 45, def. 6).

(b) Chứng minh rằng hạt nhân của L gồm các hàm $u\in \mathbf{C}^S$ hằng trên mỗi thành phần liên thông của G.

(c) Gọi $F_1$ là một định hướng của G. Gọi E $= (e_{s,f})$ là ma trận kiểu $(S,F_1)$ được cho bởi

1 nếu $o(f) =s$ và $t(f)=\not s$;

$e_{s,f}=-1$ nếu $o(f)=\not s$ và $t(f) =s$;

0 trong các trường hợp khác.

Chứng minh rằng ma trận Λ của L trong cơ sở chính tắc của $\mathbf{C}^S$ được cho bởi Λ = $E\cdot^tE$.

(d) Giả sử rằng G liên thông và tập hợp các đỉnh của nó không rỗng; gọi $x$ là một đỉnh của G và gọi $S'= S-\{x\}$. Gọi T là một tập con của F có lực lượng Card(S$'$). Chứng minh rằng T là tập các mũi tên của một cây con định hướng cực đại của G (được trang bị định hướng $F_1$) khi và chỉ khi hạng của ma trận $E'_T$ kiểu $(S',T)$ suy ra từ E bằng Card(S$'$). Khi đó suy ra rằng định thức của ma trận $\Lambda_{S',S'}$ bằng số các cây con định hướng cực đại của G. (Dùng Bài tập 6 của A, III, §8, p. 192.)

(e) Gọi W là trực giao của Ker(L). Chứng minh rằng W là một không gian con của $\mathbf{C}^S$ ổn định bởi W và rằng det(L$|_W$) bằng số các rừng cực đại của đồ thị G (định lý Kirchhoff).