Exercice 4, § 2

Soit G un graphe fini et soit $Q = (S,F, o, t)$ son carquois sous-jacent. On munit l’espace $\mathbf{C}^S$ de l’unique structure d’espace hermitien pour laquelle sa base canonique est orthonormale. Soit $L:\mathbf{C}^S\rightarrow \mathbf{C}^S$ l’application donnée par $L(u)(x) =\sum_{o(f)=x}(u(t(f))-u(x))$ pour $x\in S$ et $u\in \mathbf{C}^S$.

a) Démontrer que l’endomorphisme L de $\mathbf{C}^S$ est positif (EVT, V, p. 45, déf. 6).

b) Démontrer que le noyau de L est constitué des fonctions $u\in \mathbf{C}^S$ qui sont constantes sur chaque composante connexe de G.

c) Soit $F_1$ une orientation de G. Soit E $= (e_{s,f})$ la matrice de type $(S,F_1)$ donnée par

1 si $o(f) =s$ et $t(f)=\not s$;

$e_{s,f}=-1$ si $o(f)=\not s$ et $t(f) =s$;

0 sinon.

Démontrer que la matrice Λ de L dans la base canonique de $\mathbf{C}^S$ est donnée par Λ = $E\cdot^tE$.

d) On suppose que G est connexe et que l’ensemble de ses sommets n’est pas vide ; soit $x$ un sommet de G et soit $S'= S-\{x\}$. Soit T un sous-ensemble de F de cardinal Card(S$'$). Démontrer que T est l’ensemble des flèches d’un sous-arbre orienté maximal de G (muni de l’orientation $F_1$) si et seulement si le rang de la matrice $E'_T$ de type $(S',T)$ déduite de E est égal à Card(S$'$). En déduire alors que le déterminant de la matrice $\Lambda_{S',S'}$ est égal au nombre de sous-arbres orientés maximaux de G. (Utiliser l’exercice 6 de A, III, §8, p. 192.)

e) Soit W l’orthogonal de Ker(L). Démontrer que W est un sous-espace de $\mathbf{C}^S$ qui est stable par W et que det(L$|_W$) est égal au nombre de forêts maximales du graphe G (théorème de Kirchhoff).