Bài tập 7, § 2

Cho $G$ là một nhóm tác động phải trên một tập hợp $X$ và cho $A$ là một tập con của $G$. Quiver Schreier $\mathscr{G}_G(X,A)$ là quiver $(S,F, o, t)$ được định nghĩa bởi:

– Tập hợp các đỉnh của nó là S = X ;

– Tập hợp các mũi tên của nó là $F = X\times A$ ;

– Các ánh xạ $o$ và $t$ được cho bởi $o(x, a) =x$ và $t(x, a) =x\cdot a$ với mọi $(x, a)\in X\times A$.

Khi X = G mà trên đó G tác động bằng phép nhân phải, quiver này được ký hiệu $\mathscr{G}(G,A)$ và được gọi là quiver Cayley của G đối với A.

Đồ thị Schreier (tương ứng đồ thị Cayley) được gọi là đồ thị liên kết với quiver này.

a) Chứng minh rằng quiver $\mathscr{G}_G(X,A)$ là liên thông khi và chỉ khi nhóm con H của G sinh bởi A có nhiều nhất một quỹ đạo trên X.

b) Giả sử rằng A sinh G. Bây giờ chứng minh rằng đồ thị Cayley $\mathscr{G}(G,A)$ là liên thông và nó là hai phía khi và chỉ khi tồn tại một đồng cấu nhóm $\varphi : G\rightarrow \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ sao cho $\varphi (a) = 1$ với mọi $a\in A$.

c) Bây giờ chứng minh rằng tồn tại duy nhất một tác động của G trên đồ thị Cayley $\mathscr{G}(G,A)$ sao cho tác động của G cảm sinh trên các đỉnh của đồ thị này là tác động của G lên chính nó bằng phép nhân trái.