Exercice 7, § 2

Soit G un groupe opérant à droite sur un ensemble X et soit A une partie de G. Le carquois de Schreier $\mathscr{G}_G(X,A)$ est le carquois $(S,F, o, t)$ défini par :

– L’ensemble de ses sommets est S = X ;

– L’ensemble de ses flèches est $F = X\times A$ ;

– Les applications $o$ et $t$ sont données par $o(x, a) =x$ et $t(x, a) =x\cdot a$ pour tout $(x, a)\in X\times A$.

Lorsque X = G sur lequel G opère par multiplication à droite, on note $\mathscr{G}(G,A)$ ce carquois et on l’appelle le carquois de Cayley de G par rapport à A.

On appelle graphe de Schreier (resp. graphe de Cayley) le graphe associé à ce carquois.

a) Démontrer que le carquois $\mathscr{G}_G(X,A)$ est connexe si et seulement si le sous-groupe H de G engendré par A a au plus une orbite sur X.

b) On suppose que A engendre G. Montrer que le graphe de Cayley $\mathscr{G}(G,A)$ est connexe et qu’il est bipartite si et seulement si il existe un homomorphisme de groupe $\varphi : G\rightarrow \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ tel que $\varphi (a) = 1$ pour tout $a\in A$.

c) Montrer qu’il existe une unique action de G sur le graphe de Cayley $\mathscr{G}(G,A)$ telle que l’action de G induite sur les sommets de ce graphe soit l’action de G sur lui-même par multiplication à gauche.