Bài tập 9, § 2

Cho $(W,S)$ là một hệ Coxeter (LIE, IV, §1, p. 11, định nghĩa 3); giả sử rằng nhóm W là hữu hạn.

a) Giả sử rằng $(W,S)$ là bất khả quy và có nhiều nhất hai đỉnh. Chứng minh rằng đồ thị Cayley $\mathscr{G}(W,S)$ là Hamilton.

b) Giả sử rằng $(W,S)$ là bất khả quy và có ít nhất ba đỉnh. Cho $s\in S$ là một đỉnh tận cùng (LIE IV, phụ lục) của đồ thị Coxeter liên kết với $(W,S)$. Đặt $S'= S-\{s\}$ và ký hiệu $W'$ là nhóm con của W sinh bởi $S'$. Gọi Γ là đồ thị mà tập hợp các đỉnh của nó là tập hợp các lớp trái modulo $W'$ trong W và sao cho hai đỉnh phân biệt A và B được nối với nhau bởi một cạnh khi và chỉ khi $As\cap B$ không rỗng. Sử dụng một cây con cực đại của đồ thị Γ, chứng minh rằng nếu đồ thị Cayley $\mathscr{G}(W',S')$ là Hamilton thì điều tương tự cũng đúng đối với đồ thị $\mathscr{G}(W,S)$.

c) Chứng minh rằng đồ thị Cayley $\mathscr{G}(W,S)$ là Hamilton (định lý Conway–Sloane–Wilks).