Bài tập 10, § 1

Cho $X$ là một không gian tôpô. Giả sử tồn tại một phủ mở $\mathscr{U}$ của X sao cho với mọi không gian tôpô Y và mọi không gian con đóng B của Y, hai ánh xạ $f_0, f_1$ từ Y vào X mà $\mathscr{U}$ -gần nhau thì đồng luân nếu tồn tại một đồng luân $\mathscr{U}$ -nhỏ nối $f_0|B$ với $f_1|B$.

a) Cho $a$ là một điểm của X và cho U là một phần tử của $\mathscr{U}$ sao cho $a\in U$. Chứng minh rằng tồn tại một đồng luân $\sigma : U\times \mathbf{I}\rightarrow X$ sao cho $\sigma (x,0) =a,\sigma (x,1) =x$ và $\sigma (a, t) =a$ với mọi $x\in X$ và mọi $t\in \mathbf{I}$.

b) Cho V là một lân cận mở của $a$ sao cho $\sigma (V\times \mathbf{I})\subset U$. Chứng minh rằng V là một phần co rút lân cận tuyệt đối.

c) Chứng minh rằng X là một phần co rút lân cận tuyệt đối.