Exercice 10, § 1

Soit X un espace topologique. On suppose qu’il existe un recouvrement ouvert $\mathscr{U}$ de X tel que pour tout espace topologique Y et tout sous-espace fermé B de Y, deux applications $f_0, f_1$ de Y dans X qui sont $\mathscr{U}$ -proches sont homotopes s’il existe une homotopie $\mathscr{U}$ -petite reliant $f_0|B$ à $f_1|B$.

a) Soit $a$ un point de X et soit U un élément de $\mathscr{U}$ tel que $a\in U$. Démontrer qu’il existe une homotopie $\sigma : U\times \mathbf{I}\rightarrow X$ tel que $\sigma (x,0) =a,\sigma (x,1) =x$ et $\sigma (a, t) =a$ pour tout $x\in X$ et tout $t\in \mathbf{I}$.

b) Soit V un voisinage ouvert de $a$ tel que $\sigma (V\times \mathbf{I})\subset U$. Démontrer que V est un rétracte absolu de voisinage.

c) Démontrer que X est un rétracte absolu de voisinage.