Bourbaki

§ 1. Homotopies, homéotopies

Dans ce paragraphe et ceux qui suivent, I\mathbf{I} désigne l’intervalle [0,1][0,1] de R\mathbf{R}.

1. Applications continues homotopes

Définition 1 01V4

Soient X et Y des espaces topologiques et soient ff et gg des applications continues de X dans Y. On appelle homotopie reliant ff à gg une application continue σ:X×I→Y\sigma : X\times \mathbf{I}\rightarrow Y telle que, pour tout x∈Xx\in X, on a σ(x,0)=f(x)\sigma (x,0) =f(x) et σ(x,1)=g(x)\sigma (x,1) =g(x). On dit que ff est homotope à gg s’il existe une homotopie reliant ff à gg.

On dit que ff est l’origine et gg le terme de l’homotopie σ(\sigma (cf. ci-dessous, III, p. 257, remarque 2).

Soit A une partie de X. On dit que l’homotopie σ\sigma est fixe sur A si, pour tout a∈Aa\in A, l’application t↦σ(a,t)t\mapsto \sigma (a, t) de I\mathbf{I} dans Y est constante. Dans ce cas, l’origine et le terme de σ\sigma coïncident en tout point de A.

Soient X et Y des espaces topologiques. On dit que des homotopies σ:X×I→Y\sigma : X\times \mathbf{I}\rightarrow Y et τ:X×I→Y\tau : X\times \mathbf{I}\rightarrow Y sont juxtaposables si le terme de σ\sigma est

N. Bourbaki et Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2 016

N.© Bourbaki, Topologie algébrique, DOI 10.1007/978-3-662-49361-8_3 229 l’origine de τ\tau, autrement dit si l’on a σ(x,1)=τ(x,0)\sigma (x,1) =\tau (x,0) pour tout x∈Xx\in X. Dans ce cas, l’application σ∗τ\sigma *\tau de X×IX\times \mathbf{I} dans Y définie par

σ(x,2t)\sigma (x,2t) pour 0⩽t⩽1/20\leqslant t\leqslant 1/2

(σ∗τ)(x,t)=(1) (\sigma *\tau )(x, t) = \tag{1}

τ(x,2t−1)\tau (x,2t-1) pour 1/2⩽t⩽11/2\leqslant t\leqslant 1

est continue (TG, I, p. 19, prop. 4) et est une homotopie reliant l’origine de σ\sigma au terme de τ\tau. On l’appelle l’homotopie juxtaposée des homotopies σ\sigma et τ\tau.

Si σ:X×I→Y\sigma : X\times \mathbf{I}\rightarrow Y est une homotopie, l’application σ‾:X×I→Y\overline{\sigma}: X\times \mathbf{I}\rightarrow Y définie parl’origine de(σx,t(\sigma x, t. On a)↦σσ(=x,1σ−)\mapsto \frac{\sigma}{\sigma}(=x,1\sigma -. Sit)σt)\sigmaest une homotopie reliant le terme deet τ\tau sont des homotopies juxtaposablesσ\sigma à

de X×IX\times \mathbf{I} dans Y, les homotopies τ‾\overline{\tau} et σ‾\overline{\sigma} sont juxtaposables et l’on a σ∗τ‾=τ‾∗σ‾\overline{\sigma*\tau}=\overline{\tau}*\overline{\sigma}.

Proposition 1 01V5

Soient X et Y des espaces topologiques. La relation « ff est homotope à gg » est une relation d’équivalence dans l’ensemble C(X;Y)\mathscr{C}(X; Y) des applications continues de X dans Y.

Soit ff un élément de C(X;Y)\mathscr{C}(X; Y). L’application f∘f\circ pr1:X×I→Y_1: X\times \mathbf{I}\rightarrow Y est une homotopie reliant ff à ff; cette relation est donc réflexive.

Soient ff et gg des éléments de C(X;Y)\mathscr{C}(X; Y) et σ:X×I→Y\sigma : X\times \mathbf{I}\rightarrow Y une homotopie reliant ff à gg. L’application σ‾:X×I→Y\overline{\sigma}: X\times \mathbf{I}\rightarrow Y est alors une homotopie reliant gg à ff; la relation considérée est donc symétrique.

Démontrons enfin qu’elle est transitive. Si f,gf,g et hh sont des éléments de C(X;Y),σ\mathscr{C}(X; Y),\sigma une homotopie reliant ff à gg et τ\tau une homotopie reliant gg à hh, alors σ\sigma et τ\tau sont juxtaposables et σ∗τ\sigma *\tau est une homotopie reliant ff à hh.

Soient X et Y des espaces topologiques. La relation d’équivalence « ff est homotope à gg » dans C(X;Y)\mathscr{C}(X; Y) (prop. 1) s’appelle la relation d’homotopie. L’ensemble quotient de C(X;Y)\mathscr{C}(X; Y) par cette relation est noté [X; Y]. Ses éléments sont appelés classes d’homotopie d’applications continues de X dans Y. La classe d’homotopie d’une application continue f:X→Yf: X\rightarrow Y sera souvent notée [f][f].

Proposition 2 01V6

Soient X, Y et Z des espaces topologiques, ff et f′f' des applications continues de X dans Y,g,g et g′g' des applications continues de Y dans Z. Si ff est homotope à f′f' et si gg est homotope à g′g', alors g∘fg\circ f est homotope à g′∘f′g'\circ f'.

Soient σ\sigma une homotopie reliant ff à f′f' et τ\tau une homotopie reliant gg à g′g'. Alors, l’application θ:X×I→Z\theta : X\times \mathbf{I}\rightarrow Z définie par θ(x,t)=τ(σ(x,t),t)\theta (x, t) =\tau (\sigma (x, t), t) est une homotopie reliant g∘fg\circ f à g′∘f′g'\circ f'.

Soient X, Y et Z des espaces topologiques. Étant données des classes d’homotopie φ∈[X;Y]\varphi \in [X; Y] et ψ∈[Y;Z]\psi \in [Y; Z], les applications g∘f:X→Zg\circ f: X\rightarrow Z, où f∈φ,g∈ψf\in \varphi ,g\in \psi, appartiennent toutes à une même classe d’homotopie (prop. 2) que l’on note ψ∘φ\psi \circ \varphi et que l’on appelle la classe d’homotopie composée des classes ψ\psi et φ\varphi. L’application [X;Y]×[Y;Z]→[X;Z][X; Y]\times [Y; Z]\rightarrow [X; Z] qui à (φ,ψ)(\varphi , \psi ) associe ψ∘φ\psi \circ \varphi est appelée application de composition.

Soit φ∈[X;Y]\varphi \in [X; Y] ; on a φ=φ∘\varphi =\varphi \circ [IdX]=_X] = [IdY]∘φ_Y]\circ \varphi.

Soient X, Y, Z et T des espaces topologiques, soient φ∈[X;Y]\varphi \in [X; Y], ψ∈[Y;Z]\psi \in [Y; Z] et χ∈[Z;T]\chi \in [Z; T]. La classe d’homotopie χ∘(ψ∘φ)\chi \circ (\psi \circ \varphi ) est égale à (χ∘ψ)∘φ(\chi \circ \psi )\circ \varphi; on la note χ∘ψ∘φ\chi \circ \psi \circ \varphi.

Proposition 3 01V7

Soit X un espace topologique et soit (Yj)j∈J(Y_j)_{j\in J} une famille d’espaces topologiques. L’application de [X;∏j∈JYj][X;\prod_{j\in J}Y_j] dans l’ensemble produit ∏j∈J[X;Yj]\prod_{j\in J}[X; Y_j] définie par φ↦\varphi \mapsto ([prj]∘φ_j]\circ \varphi )j∈J_{j\in J} est bijective.

La surjectivité résulte immédiatement de I, p. 25, prop. 1. Démontrons l’injectivité. Soient ff et gg des applications continues de X dans ∏j∈JYj\prod_{j\in J}Y_j. Pour tout j∈Jj\in J, posons fj=f_j= prj∘f_j\circ f et gj=g_j= prj∘g_j\circ g; supposons fjf_j homotope à gjg_j et soit σj\sigma_j une homotopie reliant fjf_j à gjg_j. L’application σ=(σj)\sigma = (\sigma_j) de X×IX\times \mathbf{I} dans ∏j∈JYj\prod_{j\in J}Y_j est continue (loc. cit.) ; c’est une homotopie reliant ff à gg, d’où la proposition.

Corollaire 01V8

Soient (Xj)j∈J(X_j)_{j\in J} et (Yj)j∈J(Y_j)_{j\in J} des familles d’espaces topologiques ayant même ensemble d’indices. Pour tout j∈Jj\in J, soient fjf_j et gjg_j des applications continues de XjX_j dans YjY_j. Si, pour tout j∈Jj\in J, les applications fjf_j et gjg_j sont homotopes, il en est de même des applications produit f:(xj)↦(fj(xj))f: (x_j)\mapsto (f_j(x_j)) et g:(xj)↦(gj(xj))g: (x_j)\mapsto (g_j(x_j)) de ∏j∈JXj\prod_{j\in J}X_j dans ∏j∈JYj\prod_{j\in J}Y_j.

Supposons que l’on ait [fj]=[gj][f_j] = [g_j] pour tout j∈Jj\in J. On a [prj]∘[f]=_j]\circ [f] = [fj∘[f_j\circ prj]_j] et [prj]∘[g]=[gj∘_j]\circ [g] = [g_j\circ prj]_j], donc [prj]∘[f]=_j]\circ [f] = [prj]∘[g]_j]\circ [g] d’après la prop. 2, d’où [f]=[g][f] = [g] d’après la prop. 3.

2. Homotopies pointées

Soient X et Y des espaces topologiques et soit xx un point de X. Une homotopie σ:X×I→Y\sigma : X\times \mathbf{I}\rightarrow Y est dite pointée en xx si elle est fixe sur {x}\{x\}, c’est-à-dire si l’application t↦σ(x,t)t\mapsto \sigma (x, t) de I\mathbf{I} dans Y est constante. La juxtaposée de deux homotopies pointées en xx est pointée en xx. L’origine et le terme d’une homotopie pointée en xx prennent une même valeur yy en xx; ce sont donc des applications continues pointées de (X,x)(X, x) dans (Y,y)(Y, y).

Soient (X,x)(X, x) et (Y,y)(Y, y) des espaces topologiques pointés (I, p. 120, définition 1). La relation « ff est reliée à gg par une homotopie pointée en xx » est une relation d’équivalence dans l’ensemble C((X,x);(Y,y))\mathscr{C}((X, x); (Y, y)),appelée relation d’homotopie pointée. L’ensemble quotient de C((X,x);(Y,y))\mathscr{C}((X, x); (Y, y)) par cette relation d’équivalence est noté [(X,x);(Y,y)][(X, x); (Y, y)]. Ses éléments sont appelés classes d’homotopie pointée d’applications continues pointées de (X,x)(X, x) dans (Y,y)(Y, y).

L’ensemble C((X,x);(Y,y))\mathscr{C}((X, x); (Y, y)) est un sous-ensemble de C(X;Y)\mathscr{C}(X; Y). On notera que l’homotopie pointée est une relation d’équivalence plus fine que la relation induite par l’homotopie dans C(X;Y)\mathscr{C}(X; Y). C’est en général une relation strictement plus fine (voir III, p. 321, exerc. 1 et III, p. 234, exemple 3).

Soit également (Z,z)(Z, z) un espace topologique pointé. Soient ff et f′f' des applications continues pointées de (X,x)(X, x) dans (Y,y),g(Y, y),g et g′g' des applications continues pointées de (Y,y)(Y, y) dans (Z,z)(Z, z). Si ff et f′f' sont reliées par une homotopie σ\sigma pointée en xx, et si gg et g′g' sont reliées par une homotopie τ\tau pointée en yy, alors g∘fg\circ f et g′∘f′g'\circ f' sont reliées par l’homotopie θ:X×I→Z\theta : X\times \mathbf{I}\rightarrow Z, (u,t)↦τ(σ(u,t),t)(u, t)\mapsto \tau (\sigma (u, t), t), qui est pointée en xx. Comme ci-dessus, cela permet de définir l’application de composition de [(X,x);(Y,y)]×[(Y,y);(Z,z)][(X, x); (Y, y)]\times [(Y, y); (Z, z)] dans [(X,x);(Z,z)][(X, x); (Z, z)]. Nous laissons au lecteur le soin de formuler et de démontrer pour les applications et homotopies pointées les énoncés analogues à la prop. 3 et à son corollaire.

3. Espaces homéotopes

Définition 2 01V9

Soient X et Y des espaces topologiques. On dit qu’une classe d’homotopie φ∈\varphi \in [X; Y] est inversible s’il existe une classe d’homotopie ψ∈[Y;X]\psi \in [Y; X] telle que ψ∘φ=\psi \circ \varphi = [IdX]_X] et φ∘ψ=\varphi \circ \psi = [IdY]_Y]. On dit qu’une application continue est une homéotopie si sa classe d’homotopie est inversible.

Soit φ∈\varphi \in [X; Y] une classe d’homotopie inversible. Il existe une unique classe d’homotopie ψ∈[Y;X]\psi \in [Y; X] ayant les propriétés de la définition 2. Soient en effet ψ,ψ′\psi ,\psi ' des classes ayant ces propriétés ; on a

ψ=ψ∘\psi =\psi \circ [IdY]=ψ∘φ∘ψ′=_Y] =\psi \circ \varphi \circ \psi '= [IdX]∘ψ′=ψ′_X]\circ \psi '=\psi '.

Cette unique classe est appelée l’inverse de la classe d’homotopie φ\varphi et est notée φ−1\varphi^{-1}.

Soit Z un espace topologique. On a χ∘φ∘φ−1=χ\chi \circ \varphi \circ \varphi^{-1}=\chi pour tout χ∈\chi \in [Y; Z] et θ∘φ−1∘φ=θ\theta \circ \varphi^{-1}\circ \varphi =\theta pour tout θ∈[X;Z]\theta \in [X; Z]. Il en résulte que les applications χ↦χ∘φ\chi \mapsto \chi \circ \varphi de [Y; Z] dans [X; Z] et θ↦θ∘φ−1\theta \mapsto \theta \circ \varphi^{-1} de [X; Z] dans [Y; Z] sont des bijections réciproques l’une de l’autre. De même, l’application χ↦φ∘χ\chi \mapsto \varphi \circ \chi de [Z; X] dans [Z; Y] est bijective et sa bijection réciproque est l’application θ↦φ−1∘θ\theta \mapsto \varphi^{-1}\circ \theta de [Z; Y] dans [Z; X].

Soient X, Y, Z des espaces topologiques, φ∈[X;Y]\varphi \in [X; Y] et ψ∈[Y;Z]\psi \in [Y; Z] des classes d’homotopie inversibles. Alors la classe ψ∘φ\psi \circ \varphi est inversible, d’inverse φ−1∘ψ−1\varphi^{-1}\circ \psi^{-1}. En effet, on a

(ψ∘φ)∘(φ−1∘ψ−1)=ψ∘(φ∘φ−1)∘ψ−1 (\psi \circ \varphi )\circ (\varphi^{-1}\circ \psi^{-1}) =\psi \circ (\varphi \circ \varphi^{-1})\circ \psi^{-1}

=ψ∘=\psi \circ [IdY]∘ψ−1_Y]\circ \psi^{-1}

=ψ∘ψ−1==\psi \circ \psi^{-1}= [IdZ]_Z]

et, de même, (φ−1∘ψ−1)∘(ψ∘φ)=(\varphi^{-1}\circ \psi^{-1})\circ (\psi \circ \varphi ) = [IdX]_X].

Soient X, Y des espaces topologiques et soit f:X→Yf: X\rightarrow Y une homéo-topie. Toute application continue g:Y→Xg: Y\rightarrow X dont la classe est l’inverse de celle de ff est dite réciproque (ou inverse) de ff à homotopie près. Une telle application gg est une homéotopie.

Un homéomorphisme ff est une homéotopie, et [f]−1=[f−1][f]^{-1}= [f^{-1}]. L’application composée de deux homéotopies est une homéotopie. La relation « X et Y sont des espaces topologiques et il existe une homéotopie de X dans Y » est une relation d’équivalence.

Définition 3 01VA

On dit que des espaces topologiques X et Y sont homéotopes s’il existe une homéotopie de X dans Y.

Exemple 1 01VB

L’espace topologique vide n’est homéotope qu’à lui-même.

Exemple 2 01VC

Soit X un espace topologique non vide. Pour que X soit homéotope à un espace réduit à un point, il faut et il suffit qu’il existe une application constante p:X→p: X\rightarrow X qui soit homotope à l’application identique de X. (Il en est alors ainsi pour toute application constante q:X→Xq: X\rightarrow X, car [p]=[p]∘[q]=[p] = [p]\circ [q] = [IdX]∘[q]=[q]_X]\circ [q] = [q].) Soient en effet P un espace réduit à un point, f:P→Xf: P\rightarrow X une application et g:X→Pg: X\rightarrow P l’unique application de X dans P. On a g∘f=g\circ f= IdP_P; pour que ff soit une homéotopie, il faut et il suffit que f∘gf\circ g soit homotope à IdX_X. Or, f∘gf\circ g est constante, d’image f(P)f(P).

Exemple 3 01VD

On dit qu’un espace topologique pointé (X,x)(X, x) est contractile, ou que l’espace topologique X est contractile en xx, s’il existe une homotopie pointée en xx reliant IdX_X à l’application constante de X dans X d’image {x}\{x\}. Un tel espace est homéotope à un point. Il existe cependant des espaces homéotopes à un point qui ne sont contractiles en aucun de leurs points, et des espaces contractiles en un point, mais pas en tout point (III, p. 321, exerc. 1).

Exemple 4 01VE

Soit E l’espace numérique à nn dimensions (ou, plus généralement, un espace vectoriel topologique sur R\mathbf{R}) et soit X un sous-ensemble de E. On dit que l’ensemble X est étoilé en un point xx de X si, pour tout y∈Xy\in X et tout t∈It\in \mathbf{I}, le point tx+(1−t)ytx+ (1-t)y appartient à X. Une partie convexe (I, p. 122) de E est étoilée en chacun de ses points.

Un sous-espace topologique X de E étoilé en un de ses points xx est contractile en ce point. En effet, l’application σ:X×I→X\sigma : X\times \mathbf{I}\rightarrow X définie par σ(y,t)=tx+(1−t)y\sigma (y, t) =tx+ (1-t)y est une homotopie pointée en xx reliant IdX_X à l’application constante d’image {x}\{x\}.

En particulier, tout intervalle de R\mathbf{R}, toute partie convexe d’un espace numérique ou, plus généralement, d’un espace vectoriel topologique sur R\mathbf{R} est contractile en chacun de ses points.

Exemple 5 01VF

Nous démontrerons ultérieurement (TA, V) que les sphères euclidiennes Sn,n⩾1\mathbf{S}_n,n\geqslant 1, ne sont pas des espaces homéotopes à un point. La sphère unité d’un espace hilbertien de type dénombrable et de dimension infinie est contractile en chacun de ses points (EVT, V, p. 71, exerc. 13).

4. Homéotopies relatives

Soient X, Y des espaces topologiques, soit A un sous-espace de X et soit B un sous-espace de Y.

Soit f:X→Yf: X\rightarrow Y une application continue telle que f(A)⊂Bf(A)\subset B. On dit que ff est une homéotopie du couple (X,A)(X,A) sur le couple (Y,B)(Y,B) s’il existe une application continue g:Y→Xg: Y\rightarrow X telle que g(B)⊂Ag(B)\subset A, une homotopie σ:X×I→X\sigma : X\times \mathbf{I}\rightarrow X, fixe sur A, reliant IdX_X à g∘fg\circ f, et une homotopie τ:Y×I→Y\tau : Y\times \mathbf{I}\rightarrow Y, fixe sur B, reliant IdY_Y à f∘gf\circ g.

Supposons ces conditions satisfaites. Alors :

a) L’application ff est une homéotopie de X dans Y, l’application gg est une homéotopie de Y dans X, et ces homéotopies sont inverses l’une de l’autre à homotopie près.

b) L’application gg est alors une homéotopie du couple (Y,B)(Y,B) sur le couple (X,A)(X,A), dite inverse de ff à homotopie près.

c) Les applications ff et gg définissent par passage aux sous-espaces des homéomorphismes de A sur B réciproques l’un de l’autre.

On dit que les couples (X,A)(X,A) et (Y,B)(Y,B) sont homéotopes s’il existe une homéotopie du couple (X,A)(X,A) sur le couple (Y,B)(Y,B). La relation « X, Y sont des espaces topologiques, A est un sous-espace de X, B est un sous-espace de Y et les couples (X,A)(X,A) et (Y,B)(Y,B) sont homéotopes » est une relation d’équivalence.

5. Rétractions et contractions

Définition 4 01VG

Soit X un espace topologique et soit A une partie de X.

On appelle rétraction de X sur A une application continue de X dans A qui est une rétraction de l’injection canonique de A dans X. S’il existe une rétraction de X sur A, on dit que X peut se rétracter sur A, ou encore que A est un rétracte de X.

Soit X un espace topologique et soit A un sous-espace de X.

Supposons qu’il existe une rétraction rr de X sur A. Le sous-espace A s’identifie à l’ensemble des points x∈Xx\in X tels que x=r(x)x=r(x). Si X est un espace séparé, A est alors fermé dans X.

D’après le lemme suivant, pour qu’un sous-espace A soit un rétracte de X, il faut et il suffit que toute application continue de A dans un espace topologique Y s’étende en une application continue de X dans Y.

Lemme 1 01VH

Soient X et Y des espaces topologiques et soit f:X→Yf: X\rightarrow Y une application continue. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) Pour tout espace topologique Z et toute application continue g:X→Zg: X\rightarrow Z, il existe une application continue g′:Y→Zg': Y\rightarrow Z telle que g=g= g′∘fg'\circ f;

(ii) L’application ff est injective et possède une rétraction continue ;

(iii) L’application ff définit un homéomorphisme de X sur son image f(X)f(X), laquelle est un rétracte de Y.

Supposons que ff soit injective et soit r:Y→r: Y\rightarrow X une rétraction continue de l’application ff. Pour toute application continue g:X→Zg: X\rightarrow Z, l’application g′=g∘r:Y→Zg'=g\circ r: Y\rightarrow Z vérifie g′∘f=g∘r∘f=gg'\circ f=g\circ r\circ f=g. Cela démontre que (ii)⇒\Rightarrow(i).

Supposons que la condition (i) soit satisfaite. Soit g:X→Xg: X\rightarrow X l’application identique. Par hypothèse, il existe une application continue g′:Y→Xg': Y\rightarrow X telle que g′∘f=gg'\circ f=g. Cela entraîne que l’application ff est injective et que g′g' est une rétraction continue de ff.

L’équivalence des propriétés (ii) et (iii) est immédiate.

Définition 5 01VI

Soit X un espace topologique et soit A une partie de X. On appelle contraction de X sur A une homotopie σ:X×I→X\sigma : X\times \mathbf{I}\rightarrow X fixe sur A dont l’origine est l’application identique de X et dont le terme est une rétraction de X sur A. S’il existe une contraction de X sur A, on dit que X peut se contracter sur A, ou encore que A est un contracté de X.

Remarque 01VJ

En d’autres termes, une contraction de X sur A est une homotopie σ:X×I→X\sigma : X\times \mathbf{I}\rightarrow X ayant les propriétés suivantes :

(i) σ(x,0)=x\sigma (x,0) =x pour tout x∈Xx\in X ;

(ii) σ(x,1)∈A\sigma (x,1)\in A pour tout x∈Xx\in X ;

(iii) σ(x,t)=x\sigma (x, t) =x pour tout x∈Ax\in A et tout t∈It\in \mathbf{I}.

Pour qu’il existe une contraction de X sur A, il faut et il suffit que l’injection canonique de A dans X soit une homéotopie du couple (A,A)(A,A) sur le couple (X,A)(X,A).

Soit aa un point de X. Une contraction de X sur le sous-espace {a}\{a\} n’est autre qu’une homotopie pointée en aa reliant l’application IdX_X à l’application constante d’image {a}\{a\}. Par suite, X se contracte sur {a}\{a\} si et seulement si X est contractile en aa (exemple 3 de III, p. 234).

Soit X un espace topologique et soit A une partie de X. Soit σ\sigma une contraction de X sur A. L’application rr de X dans A définie par r(x)=σ(x,1)r(x) =\sigma (x,1) est une rétraction de X sur A et σ\sigma est une homotopie reliant IdX_X à rr. Les relations r∘i=r\circ i= IdA_A et i∘r=ri\circ r=r entraînent alors que les applications ii et rr sont des homéotopies, réciproques l’une de l’autre à homotopie près.

Définition 6 01VK

Avec les notations qui précèdent, on dit que σ\sigma est une contraction forte si, de plus, on a r(σ(x,t))=r(x)r(\sigma (x, t)) =r(x) pour tout x∈Xx\in X et tout t∈It\in \mathbf{I},

Exemple 01VL

Soit X le complémentaire de l’origine dans Bn\mathbf{B}_n. L’application de X×IX\times \mathbf{I} dans X donnée par (x,t)↦((1−t)+t1∥x∥)x(x, t)\mapsto ((1-t) +t\frac{1}{\|x\|})x est une contraction forte de X sur Sn−1\mathbf{S}_{n-1}. La rétraction de X sur Sn−1\mathbf{S}_{n-1} qui lui est associée est l’application donnée par x↦x/∥x∥x\mapsto x/\|x\|.

Lemme 2 01VM

Soit X un espace topologique, soit U un ouvert de X et soit σ\sigma une contraction forte de X sur X-U. Alors, σ(U×I)⊂U‾\sigma (U\times \mathbf{I})\subset \overline{U}. En particulier, σ(U×{1})\sigma (U\times \{1\}) est contenu dans la frontière de U.

Soit x∈Ux\in U. L’ensemble des nombres réels t∈It\in \mathbf{I} tels que σ(x,t)∈U\sigma (x, t)\in U est ouvert dans I\mathbf{I} et contient 0 ; soit ss sa borne supérieure. On a σ(x,s)∈U‾\sigma (x, s)\in \overline{U}. Si s<1,σ(x,s)∉Us <1,\sigma (x, s)\notin U, par définition de ss; il en est de même si s=1s= 1 car σ(x,1)∈X−U\sigma (x,1)\in X-U. Par suite, σ(x,s)∈\sigma (x, s)\in Fr(U). Par définition d’une contraction forte, on a alors σ(x,s)=σ(σ(x,s),1)=σ(x,1)\sigma (x, s) =\sigma (\sigma (x, s),1) =\sigma (x,1); en particulier, σ(x,1)∈U‾\sigma (x,1)\in \overline{U}. Par conséquent, σ(x,1)\sigma (x,1) appartient à la frontière U‾∩(X−U)\overline{U}\cap (X-U) de U.

Soit t∈It\in \mathbf{I}; si σ(x,t)∉U\sigma (x, t)\notin U, il vient encore σ(x,t)=σ(σ(x,t),1)=\sigma (x, t) =\sigma (\sigma (x, t),1) = σ(x,1)\sigma (x,1), donc σ(x,t)∈U‾\sigma (x, t)\in \overline{U}, d’où le lemme.

6. Cylindre d’une application

Soient X et Y des espaces topologiques et soit ff une application continue de X dans Y. Notons U l’espace topologique somme de l’espace U1=X×IU_1= X\times \mathbf{I} et de l’espace U2U_2 = Y et identifions U1U_1 et U2U_2 à des sous-espaces de U par les injections canoniques. Soit R la relation d’équivalence sur U la plus fine pour laquelle les points (x,1)(x,1) de U1U_1 et f(x)f(x) de U2U_2 sont équivalents, pour tout x∈Xx\in X.

Définition 7 01VN

On appelle cylindre de l’application ff et on note Cyl(ff) l’espace topologique quotient U/RU/R.

Notons αf:X×I→\alpha_f: X\times \mathbf{I}\rightarrow Cyl(ff) et βf:Y→\beta_f: Y\rightarrow Cyl(ff) les restrictions à U1U_1 et U2U_2 de la surjection canonique de U sur U/RU/R. L’application αf\alpha_f est une homotopie et son terme est βf∘f\beta_f\circ f.

Proposition 4 (Propriété universelle des cylindres)

Soit Z un espace topologique, soit β:Y→Z\beta : Y\rightarrow Z une application continue et soit α:X×I→Z\alpha : X\times \mathbf{I}\rightarrow Z une homotopie dont le terme est β∘f\beta \circ f. Il existe une unique application continue φ\varphi de Cyl(ff) dans Z telle que α=φ∘αf\alpha =\varphi \circ \alpha_f et β=φ∘βf\beta =\varphi \circ \beta_f.

L’application ψ\psi de U dans Z qui coïncide avec α\alpha dans X×IX\times \mathbf{I} et avec β\beta dans Y est continue. On a α(x,1)=β(f(x))\alpha (x,1) =\beta (f(x)) pour tout x∈Xx\in X, donc ψ\psi définit par passage au quotient une application continue φ\varphi de Cyl(ff) dans Z telle que α=φ∘αf\alpha =\varphi \circ \alpha_f et β=φ∘βf\beta =\varphi \circ \beta_f. Comme les images de αf\alpha_f et de βf\beta_f recouvrent Cyl(ff),φ,\varphi est la seule application de Cyl(ff) dans Z satisfaisant ces relations.

Exemple 1 01VO

Soient X′,Y′X',Y' des espaces topologiques et f′:X′→Y′f': X'\rightarrow Y' une application continue. Soient u:X→X′u: X\rightarrow X' et v:Y→Y′v: Y\rightarrow Y' des applications continues telles que f′∘u=v∘ff'\circ u=v\circ f. Il existe une unique application continue w:w: Cyl(ff)→\rightarrow Cyl(f′f') telle que w∘αf=αf′∘(u×w\circ \alpha_f=\alpha_{f'}\circ (u\times IdI)_{\mathbf{I}}) et w∘βf=βf′∘vw\circ \beta_f=\beta_{f'}\circ v.

D’après la prop. 4, appliquée à Z = Y et β=\beta = IdY_Y, il existe une unique application continue γf:\gamma_f: Cyl(ff)→Y\rightarrow Y telle que γf(αf(x,s))=f(x)\gamma_f(\alpha_f(x, s)) =f(x) et γf(βf(y))=y\gamma_f(\beta_f(y)) =y pour x∈X,s∈Ix\in X,s\in \mathbf{I} et y∈Yy\in Y.

Proposition 5 01VP

L’application αf\alpha_f induit un homéomorphisme de X×[0,1[X\times [0,1[ sur une partie ouverte de Cyl(ff). L’application βf\beta_f définit un homéomorphisme de Y sur le complémentaire de cet ouvert. L’application βf∘γf\beta_f\circ \gamma_f est une rétraction continue de Cyl(ff) sur βf(Y)\beta_f(Y).

L’ensemble X×[0,1[X\times [0,1[ est un ouvert de U, saturé pour la relation R, et la relation d’équivalence induite par R dans X×[0,1[X\times [0,1[ est la relation d’égalité. La première assertion en résulte (TG, I, p. 23, cor. 10).

Le complémentaire de αf(X×[0,1[)\alpha_f(X\times [0,1[) est βf(Y)\beta_f(Y). Comme on a γf∘βf=\gamma_f\circ \beta_f= IdY,βf_Y,\beta_f définit un homéomorphisme de Y sur βf(Y)\beta_f(Y) et βf∘γf\beta_f\circ \gamma_f est une rétraction continue de l’injection canonique de βf(Y)\beta_f(Y) dans Cyl(ff).

Le sous-espace fermé βf(Y)\beta_f(Y) de Cyl(ff) s’appelle la base du cylindre de ff. L’application βf∘γf\beta_f\circ \gamma_f s’appelle la rétraction canonique de Cyl(ff) sur sa base.

Considérons les applications σ1:U1×I→\sigma_1: U_1\times \mathbf{I}\rightarrow Cyl(ff) et σ2:U2×I→\sigma_2: U_2\times \mathbf{I}\rightarrow Cyl(ff) définies par

σ1((x,s),t)=αf(x,(1−t)s+t)\sigma_1((x, s), t) =\alpha_f(x,(1-t)s+t) pour (x,s)∈X×I(x, s)\in X\times \mathbf{I} et t∈It\in \mathbf{I}

σ2(y,t)=βf(y)\sigma_2(y, t) =\beta_f(y) pour y∈Yy\in Y et t∈It\in \mathbf{I}.

Elles sont continues. Pour x∈Xx\in X et t∈It\in \mathbf{I}, on a

σ1((x,1),t)=αf(x,1)=βf(f(x))=σ2(f(x),t) \sigma_1((x,1), t) =\alpha_f(x,1) =\beta_f(f(x)) =\sigma_2(f(x), t)

Il existe donc une unique application σf\sigma_f de Cyl(ff)×I\times \mathbf{I} dans Cyl(ff) telle que σf∘(αf×\sigma_f\circ (\alpha_f\times IdI)=σ1_{\mathbf{I}}) =\sigma_1 et σf∘(βf×\sigma_f\circ (\beta_f\times IdI)=σ2_{\mathbf{I}}) =\sigma_2. L’application σf\sigma_f est continue (I, p. 19, prop. 10).

Proposition 6 01VQ

L’application σf:\sigma_f: Cyl(ff)×I→\times \mathbf{I}\rightarrow Cyl(ff) est une contraction forte de Cyl(ff) sur sa base. Son terme est la rétraction canonique de Cyl(ff) sur sa base.

L’application σf\sigma_f est une homotopie. Les relations σf(αf(x,s),0)=\sigma_f(\alpha_f(x, s),0) = αf(x,s)\alpha_f(x, s) et σf(βf(y),0)=βf(y)\sigma_f(\beta_f(y),0) =\beta_f(y) entraînent que l’origine de σf\sigma_f est l’application identique de Cyl(ff). Notons rfr_f le terme de σf\sigma_f. Les relations

σf(αf(x,s),1)=αf(x,1)=βf(f(x))=(βf∘γf)(αf(x,s)) \sigma_f(\alpha_f(x, s),1) =\alpha_f(x,1) =\beta_f(f(x)) = (\beta_f\circ \gamma_f)(\alpha_f(x, s))

et σf(βf(y),1)=βf(y)=(βf∘γf)(βf(y))\sigma_f(\beta_f(y),1) =\beta_f(y) = (\beta_f\circ \gamma_f)(\beta_f(y)) entraînent que rfr_f est la rétraction canonique βf∘γf\beta_f\circ \gamma_f de Cyl(ff) sur sa base.

Pour (x,s)∈X×I(x, s)\in X\times \mathbf{I} et t∈It\in \mathbf{I}, on a

rf(σf(αf(x,s),t))=rf(αf(x,s(1−t)+t))=βf(f(x))=rf(αf(x,s)) r_f(\sigma_f(\alpha_f(x, s), t)) =r_f(\alpha_f(x, s(1-t) +t)) =\beta_f(f(x)) =r_f(\alpha_f(x, s))

Pour y∈Yy\in Y et t∈It\in \mathbf{I}, on a rf(σf(βf(y),t))=rf(βf(y))r_f(\sigma_f(\beta_f(y), t)) =r_f(\beta_f(y)). Par conséquent, σf\sigma_f est une contraction forte de Cyl(ff) sur sa base.

L’application σf\sigma_f est appelée la contraction canonique du cylindre de ff sur sa base.

Remarque 1 01VR

Soit A une partie de X×IX\times \mathbf{I} et soit A1A_1 l’ensemble des points x∈Xx\in X tels que (x,1)∈A(x,1)\in A. On a αf−1(αf(A))=A∪f−1(f(A1))×{1}\alpha^{-1}_f(\alpha_f(A)) = A\cup \overset{-1}{f}(f(A_1))\times \{1\} et βf−1(αf(A))=f(A1)\beta^{-1}_f(\alpha_f(A)) =f(A_1). Par suite, l’application αf\alpha_f est fermée (resp. ouverte) si ff l’est.

Remarque 2 01VS

Supposons que l’application ff soit propre. Soit P un point de Cyl(ff). Si P = αf(x,t)\alpha_f(x, t), avec 0 ⩽t<\leqslant t < 1 et x∈x\in X, on a αf−1(P)=(x,t)\alpha^{-1}_f(P) = (x, t). Dans le cas contraire, il existe y∈Yy\in Y tel que P=βf(y)P =\beta_f(y) et αf−1(P)=f−1(y)×{1}\alpha^{-1}_f(P) =\overset{-1}{f}(y)\times \{1\}. Cela démontre que les fibres de l’application αf\alpha_f sont quasi-compactes. L’application αf\alpha_f est alors propre (TG, I, p. 75, th. 1), car elle est fermée.

D’après la prop. 5 et TG, I, p. 72, prop. 2, l’application βf\beta_f est elle-même propre. Par suite, si ff est propre, la surjection canonique de U sur Cyl(ff) est propre donc, en particulier, universellement stricte (I, p. 20, corollaire).

Remarque 3 01VT

Si les espaces X et Y sont séparés, il en est de même du cylindre de l’application ff. En effet, soient zz et z′z' deux points distincts de Cyl(ff) et démontrons qu’ils possèdent des voisinages disjoints. Distinguons trois cas.

– Il existe (x,t)(x, t) et (x′,t′)∈X×[0,1[(x', t')\in X\times [0,1[ tels que z=αf(x,t)z=\alpha_f(x, t) et z′=αf(x′,t′)z'=\alpha_f(x', t').

Dans ce cas, l’assertion résulte de ce que l’espace X×[0,1[X\times [0,1[ est séparé (TG, I, p. 54, prop. 7) et que l’application αf\alpha_f induit un homéo-morphisme de cet espace sur un sous-espace ouvert de Cyl(ff).

– Il existe (x,t)∈X×[0,1[(x, t)\in X\times [0,1[ tel que z=αf(x,t)z=\alpha_f(x, t) et y′∈Yy'\in Y tel que z′=βf(y′)z'=\beta_f(y').

Alors, αf(X×[0,t+12[)\alpha_f(X\times [0,\frac{t+1}{2}[) et Cyl(ff)−αf(X×[0,t+12])-\alpha_f(X\times [0,\frac{t+1}{2}]) sont des voisinages ouverts disjoints de zz et z′z' dans Cyl(ff).

– Il existe yy et y′∈Yy'\in Y tels que z=βf(y),z′=βf(y′)z=\beta_f(y),z'=\beta_f(y').

Dans ce cas, y≠y′y=\not y'; comme Y est séparé, il existe un voisinage ouvert V de yy dans Y et un voisinage ouvert V′V' de y′y' dans Y tels que V∩V′=∅V\cap V'=\emptyset. Alors, (βf∘γf)−1(V)(\beta_f\circ \gamma_f)^{-1}(V) et (βf∘γf)−1(V′)(\beta_f\circ \gamma_f)^{-1}(V') sont des parties ouvertes disjointes de Cyl(ff) contenant respectivement yy et y′y'.

7. La propriété d’extension des homotopies

Définition 8 01VU

Soit X un espace topologique et soit A une partie de X. On dit que le couple (X,A)(X,A) possède la propriété d’extension des homotopies si, pour tout espace topologique Y, toute application continue f:X→Yf: X\rightarrow Y et toute homotopie σ:A×I→Y\sigma : A\times \mathbf{I}\rightarrow Y dont le terme est l’application f∣Af|A, il existe une homotopie τ:X×I→Y\tau : X\times \mathbf{I}\rightarrow Y prolongeant σ\sigma et dont le terme est l’application ff.

Remarque 1 01VV

Soit X un espace topologique et soit A une partie de X telle que le couple (X,A)(X,A) possède la propriété d’extension des homotopies. Soit Y un espace topologique, soit f:X→Yf: X\rightarrow Y une application continue et soit σ:A×I→Y\sigma : A\times \mathbf{I}\rightarrow Y une homotopie dont l’origine est l’application f∣Af|A. L’application σ‾:A×I→Y\overline{\sigma}: A\times \mathbf{I}\rightarrow Y définie par (a,t)↦σ(a,1−t)(a, t)\mapsto \sigma (a,1-t) est une homotopie de terme f∣Af|A; soit τ:X×I→Y\tau : X\times \mathbf{I}\rightarrow Y une homotopie de terme ff qui prolonge σ‾\overline{\sigma}. L’application τ‾:X×I→Y\overline{\tau}: X\times \mathbf{I}\rightarrow Y donnée par (x,t)↦τ(x,1−t)(x, t)\mapsto \tau (x,1-t) est alors une homotopie qui prolonge σ\sigma et dont l’origine est l’application ff.

Soit X un espace topologique, soit A un sous-espace de X et soit i:A→Xi: A\rightarrow X l’injection canonique. Notons αi:A×I→\alpha_i: A\times \mathbf{I}\rightarrow Cyl(ii) et βi:X→\beta_i: X\rightarrow Cyl(ii) les applications canoniques. Soit j:j: Cyl(ii)→X×I\rightarrow X\times \mathbf{I} l’unique application continue telle que j(αi(a,s))=(i(a),s)j(\alpha_i(a, s)) = (i(a), s) et j(βi(x))=(x,1)j(\beta_i(x)) = (x,1) pour a∈A,s∈Ia\in A,s\in \mathbf{I} et x∈Xx\in X. Elle est injective ; son image est le sous-espace (A×I)∪(X×{1})(A\times \mathbf{I})\cup (X\times \{1\}) de X×IX\times \mathbf{I}. L’application jj est fermée si A est fermé dans X. Elle n’est pas toujours stricte (III, p. 325, exerc. 17).

Proposition 7 01VW

Avec les notations ci-dessus, les assertions suivantes sont équivalentes :

(i) Le couple (X,A)(X,A) possède la propriété d’extension des homotopies ;

(ii) Pour tout espace topologique Y et toute application continue g:g: Cyl(ii)→Y\rightarrow Y, il existe une application continue g′:X×I→Yg': X\times \mathbf{I}\rightarrow Y telle que g=g′∘jg=g'\circ j;

(iii) L’injection jj possède une rétraction continue ;

(iv) L’application jj est stricte et il existe une contraction de X×IX\times \mathbf{I} sur l’image de jj.

Supposons que le couple (X,A)(X,A) possède la propriété d’extension des homotopies. Soit g:g: Cyl(ii)→Y\rightarrow Y une application continue ; posons σ=g∘αi\sigma =g\circ \alpha_i et f=g∘βif=g\circ \beta_i. L’application f:X→f: X\rightarrow Y est continue et σ:A×I→Y\sigma : A\times \mathbf{I}\rightarrow Y est une homotopie dont le terme est l’application f∣Af|A. Il existe donc une homotopie g′:X×I→Yg': X\times \mathbf{I}\rightarrow Y de terme ff qui prolonge σ\sigma. On a g′∘j(αi(a,s))=g′(a,s)=σ(a,s)=g(αi(a,s))g'\circ j(\alpha_i(a, s)) =g'(a, s) =\sigma (a, s) =g(\alpha_i(a, s)) et g′∘j(βi(x))=g'\circ j(\beta_i(x)) = g′(x,1)=f(x)=g(βi(x))g'(x,1) =f(x) =g(\beta_i(x)) pour a∈A,s∈Ia\in A,s\in \mathbf{I} et x∈Xx\in X. Par suite, g′∘j=gg'\circ j=g, d’où (ii).

Inversement, supposons que l’assertion (ii) soit vérifiée et démontrons que le couple (X,A)(X,A) possède la propriété d’extension des homotopies. Soit Y un espace topologique, soit f:X→Yf: X\rightarrow Y une application continue et soit σ:A×I→Y\sigma : A\times \mathbf{I}\rightarrow Y une homotopie dont le terme est égal à f∣Af|A. Il existe une unique application continue g:g: Cyl(ii)→Y\rightarrow Y telle que g∘αi=σg\circ \alpha_i=\sigma et g∘βi=fg\circ \beta_i=f (III, p. 238, prop. 4). Toute application g′:X×I→Yg': X\times \mathbf{I}\rightarrow Y telle que g=g′∘jg=g'\circ j est alors une homotopie de terme ff qui prolonge σ\sigma.

L’équivalence des assertions (ii) et (iii) est un cas particulier du lemme 1 de III, p. 235.

Supposons que l’injection j:j: Cyl(ii)→X×I\rightarrow X\times \mathbf{I} admette une rétraction continue rr. L’application jj définit donc un homéomorphisme de Cyl(ii) sur le sous-espace T=(A×I)∪(X×{1})T = (A\times \mathbf{I})\cup (X\times \{1\}) de X×I(X\times \mathbf{I}(loc. cit.). Elle est donc stricte.

Posons ρ=\rho = pr1∘j∘r_1\circ j\circ r et θ=\theta = pr2∘j∘r_2\circ j\circ r. Si x∈Ax\in A ou si s=1s= 1, on a ρ(x,s)=x\rho (x, s) =x et θ(x,s)=s\theta (x, s) =s Pour (x,s)∈X×I(x, s)\in X\times \mathbf{I} et t∈It\in \mathbf{I}, posons

σ((x,s),t)=(ρ(x,(1−t)+st),(1−t)s+tθ(x,s)) \sigma ((x, s), t) = (\rho (x,(1-t) +st),(1-t)s+t\theta (x, s))

L’application σ:(X×I)×I→X×I\sigma : (X\times \mathbf{I})\times \mathbf{I}\rightarrow X\times \mathbf{I} est continue. Pour (x,s)∈X×I(x, s)\in X\times \mathbf{I}, on a

σ((x,s),0)=(ρ(x,1),s)=(x,s) \sigma ((x, s),0) = (\rho (x,1), s) = (x, s)

et

σ((x,s),1)=(ρ(x,s),θ(x,s))=j∘r(x,s) \sigma ((x, s),1) = (\rho (x, s), \theta (x, s)) =j\circ r(x, s)

pour x∈Xx\in X et t∈It\in \mathbf{I}, on a

σ((x,1),t)=(ρ(x,1),(1−t)+tθ(x,1))=(x,1) \sigma ((x,1), t) = (\rho (x,1),(1-t) +t\theta (x,1)) = (x,1)

tandis que, pour (x,s)∈A×I(x, s)\in A\times \mathbf{I} et t∈It\in \mathbf{I}, on a

σ((x,s),t)=(x,(1−t)s+ts)=(x,s) \sigma ((x, s), t) = (x,(1-t)s+ts) = (x, s)

Par suite, σ\sigma est une contraction de X×IX\times \mathbf{I} sur T. Cela montre que l’assertion (iii) implique l’assertion (iv).

L’implication (iv)⇒\Rightarrow(iii) est évidente.

Remarque 2 01VX

Soit X un espace topologique séparé et soit A une partie de X telle que le couple (X,A)(X,A) possède la propriété d’extension des homotopies. Notons i:A→i: A\rightarrow X l’injection canonique. Soit j:j: Cyl(ii)→X×I\rightarrow X\times \mathbf{I} l’injection canonique et soit rr une rétraction continue de l’application jj. Le sous-espace jj(Cyl(ii)) est égal à l’ensemble des couples (x,t)∈X×I(x, t)\in X\times \mathbf{I} tels que j(r(x,t))=(x,t)j(r(x, t)) = (x, t). Comme l’espace X×IX\times \mathbf{I} est séparé, le sous-ensemble jj(Cyl(ii)) est fermé dans X×IX\times \mathbf{I}. L’ensemble A, égal à l’ensemble des x∈Xx\in X tels que (x,0)∈j(x,0)\in j(Cyl(ii)), est alors une partie fermée de X.

Lemme 3 01VY

Soient X et Y des espaces topologiques, soit p:X→Yp: X\rightarrow Y une application continue propre et ouverte, et soit f:X→Rf: X\rightarrow \mathbf{R} une application continue. L’application g:Y→R‾g: Y\rightarrow \overline{\mathbf{R}} donnée par y↦y\mapsto supx∈p−1(y)f(x)_{x\in\overset{-1}{p}(y)}f(x) est continue.

Soit b∈Yb\in Y. Comme pp est propre, sa fibre p−1(b)\overset{-1}{p}(b) est un espace quasi-compact ; on a donc g(b)∈R∪{−∞}g(b)\in \mathbf{R}\cup \{-\infty \}.

Soit m∈Rm\in \mathbf{R} tel que g(b)<mg(b)< m. Pour tout a∈p−1(b)a\in \overset{-1}{p}(b), on a f(a)⩽f(a)\leqslant g(b)<mg(b)< m; soit VaV_a un voisinage de aa dans X tel que f(x)<mf(x)< m pour tout x∈Vax\in V_a. La réunion V des ensembles VaV_a est un voisinage de p−1(b)\overset{-1}{p}(b) dans X. D’après le lemme 5 (I, p. 75), il existe un voisinage W de bb dans Y tel que p−1(W)⊂V\overset{-1}{p}(W)\subset V. Pour tout y∈Wy\in W, on a g(y)⩽mg(y)\leqslant m. Cela prouve que gg est semi-continue supérieurement en bb.

Démontrons maintenant que gg est semi-continue inférieurement en bb. On peut supposer g(b)∈Rg(b)\in \mathbf{R}. Soit m∈Rm\in \mathbf{R} tel que m<g(b)m < g(b). Soit a∈p−1(b)a\in \overset{-1}{p}(b) tel que m<f(b)m < f(b) ; soit alors V un voisinage de aa dans X tel que f(x)>mf(x)> m pour tout x∈Vx\in V. Il s’ensuit que g(y)>mg(y)> m pour tout y∈p(V)y\in p(V). Comme pp est ouverte, p(V)p(V) est un voisinage de bb, si bien que gg est semi-continue inférieurement.

Le lemme est ainsi démontré.

Théorème 1 01VZ

Soit X un espace topologique et soit A un sous-espace fermé de X ; notons i:A→Xi: A\rightarrow X l’injection canonique. Les assertions suivantes sont équivalentes :

(i) Le couple (X,A)(X,A) possède la propriété d’extension des homotopies ;

(ii) Il existe une application continue φ:X→I\varphi : X\rightarrow \mathbf{I} telle que A=φ−1(0)A =\overset{-1}{\varphi}(0) et une homotopie σ:X×I→X\sigma : X\times \mathbf{I}\rightarrow X fixe sur A dont le terme est l’application identique de X et telle que σ(x,0)∈A\sigma (x,0)\in A pour tout point x∈Xx\in X tel que φ(x)=1̸\varphi (x)= 1\not .

(iii) Il existe une application continue φ:X→R+\varphi : X\rightarrow \mathbf{R}_+ telle que A=φ−1(0)A =\overset{-1}{\varphi}(0) et une homotopie σ:φ−1(I)×I→X\sigma :\overset{-1}{\varphi}(\mathbf{I})\times \mathbf{I}\rightarrow X, fixe sur A, telle que σ(x,1)=x\sigma (x,1) =x et σ(x,0)∈A\sigma (x,0)\in A pour tout x∈φ−1(I)x\in \overset{-1}{\varphi}(\mathbf{I}).

(iv) Il existe une application continue φ:X→R+\varphi : X\rightarrow \mathbf{R}_+ telle que A⊂φ−1(0)A\subset \overset{-1}{\varphi}(0) et une application continue

σ:{(x,t)∈X×I∣t+φ(x)⩾1}→X \sigma :\{(x, t)\in X\times \mathbf{I}|t+\varphi (x)\geqslant 1\} \rightarrow X

telle que σ(x,1)=x\sigma (x,1) =x pour tout x∈Xx\in X et σ(x,1−φ(x))∈A\sigma (x,1-\varphi (x))\in A pour tout x∈Xx\in X tel que φ(x)⩽1\varphi (x)\leqslant 1.

Nous noterons ii l’injection canonique de A dans X,αi:A×I→,\alpha_i: A\times \mathbf{I}\rightarrow Cyl(ii) et βi:X→\beta_i: X\rightarrow Cyl(ii) les applications canoniques, et jj l’application de Cyl(ii) dans X×IX\times \mathbf{I} telle que j(αi(x,s))=(x,s)j(\alpha_i(x, s)) = (x, s) pour (x,s)∈A×I(x, s)\in A\times \mathbf{I} et j(βi(x))=(x,1)j(\beta_i(x)) = (x,1) pour x∈Xx\in X.

Supposons que le couple (X,A)(X,A) possède la propriété d’extension des homotopies et soit r:X×I→r: X\times \mathbf{I}\rightarrow Cyl(ii) une rétraction continue de l’application j(j(III, p. 241, prop. 7). Notons σ\sigma l’application continue pr1∘j∘r_1\circ j\circ r de X×IX\times \mathbf{I} dans X. Pour tout (x,t)∈X×I(x, t)\in X\times \mathbf{I}, on a ∣|pr2(j(r(x,t)))−t∣⩽1_2(j(r(x, t)))-t|\leqslant 1. Comme I\mathbf{I} est compact, la première projection pr1:X×I→X_1: X\times \mathbf{I}\rightarrow X est une application propre ; elle est aussi ouverte. D’après le lemme 3, l’application φ:X→I\varphi : X\rightarrow \mathbf{I} donnée par

x↦x\mapsto supt∈I(∣_{t\in\mathbf{I}}(|pr2(j(r(x,t)))−t∣)_2(j(r(x, t)))-t|)

est donc continue.

Pour x∈Xx\in X, on a σ(x,1)=x\sigma (x,1) =x. Soit x∈Xx\in X tel que σ(x,0)∉A\sigma (x,0)\notin A ; alors pr2(j(r(x,0)))=1_2(j(r(x,0))) = 1 et φ(x)⩾1\varphi (x)\geqslant 1. Pour x∈Ax\in A et t∈It\in \mathbf{I}, on a j(r(x,t))=(x,t)j(r(x, t)) = (x, t) ; par suite, σ(x,t)=x\sigma (x, t) =x et φ(x)=0\varphi (x) = 0. Inversement, soit x∈Xx\in X tel que φ(x)=0\varphi (x) = 0. On a donc pr2(j(r(x,t))⩽t_2(j(r(x, t))\leqslant t pour tout t∈It\in \mathbf{I}; si t<1t <1, cela entraîne j(r(x,t))∈A×Ij(r(x, t))\in A\times \mathbf{I}; comme A est fermé dans X, on a donc j(r(x,1))∈A×Ij(r(x,1))\in A\times \mathbf{I}, donc x∈Ax\in A.

Cela démontre que (i) entraîne (ii).

Soient φ\varphi et σ\sigma des applications vérifiant les propriétés de l’assertion (ii). Posons φ1=2φ\varphi_1= 2\varphi et soit σ1\sigma_1 la restriction de σ\sigma à φ−11(I)×I\overset{-1}{\varphi}_{1}(\mathbf{I})\times \mathbf{I}. On a φ−11(0)=A\overset{-1}{\varphi}_{1}(0) = A; pour a∈A,σ1(a,t)=aa\in A,\sigma_1(a, t) =a pour tout a∈Aa\in A. Soit x∈Xx\in X tel que φ1(x)⩽1\varphi_1(x)\leqslant 1 ; on a σ1(x,1)=x\sigma_1(x,1) =x; en outre, φ(x)=φ1(x)/2<1\varphi (x) =\varphi_1(x)/2<1, donc σ1(x,0)∈A\sigma_1(x,0)\in A. Ainsi, (ii) implique (iii).

Démontrons que (iii) entraîne (iv). Soient φ:X→R\varphi : X\rightarrow \mathbf{R} et σ:φ−1(I)×\sigma :\overset{-1}{\varphi}(\mathbf{I})\times I→X\mathbf{I}\rightarrow X comme dans l’énoncé ; posons B=φ−1(I)B =\overset{-1}{\varphi}(\mathbf{I}) et C=φ−1([1,+∞[)C =\overset{-1}{\varphi}([1,+\infty [).

Soit u1u_1 l’application de B×IB\times \mathbf{I} dans X telle que u1(x,t)=σ(x,1−u_1(x, t) =\sigma (x,1- (1−t)/2φ(x))(1-t)/2\varphi (x)) si t+2φ(x)⩾1t+ 2\varphi (x)\geqslant 1 et φ(x)>0\varphi (x)>0 et u1(x,t)=σ(x,0)u_1(x, t) =\sigma (x,0) sinon. D’après le lemme 4 ci-dessous, elle est continue.

Soit u2u_2 l’application de B×IB\times \mathbf{I} dans X telle que u2(x,t)=u_2(x, t) = σ(x\sigma (x, sup(0,1−2(1−t)(1−φ(x)),1-2(1-t)(1-\varphi (x)))). Elle est continue. Pour x∈Bx\in B tel que φ(x)=1/2\varphi (x) = 1/2 et t∈It\in \mathbf{I}, on a u1(x,t)=σ(x,t)=u2(x,t)u_1(x, t) =\sigma (x, t) =u_2(x, t). Notons u:B×I→Xu: B\times \mathbf{I}\rightarrow X l’application telle que u(x,t)=u1(x,t)u(x, t) =u_1(x, t) si φ(x)⩽1/2\varphi (x)\leqslant 1/2 et u(x,t)=u2(x,t)u(x, t) =u_2(x, t) si 1/2<x⩽11/2< x\leqslant 1 ; elle est continue car ses restrictions aux sous-espaces fermés φ−1([0,1/2])×I\overset{-1}{\varphi}([0,1/2])\times \mathbf{I} et φ−1([1/2,1])×I\overset{-1}{\varphi}([1/2,1])\times \mathbf{I} de B×IB\times \mathbf{I} sont continues (TG, I, p. 19, prop. 4).

Pour x∈Xx\in X tel que φ(x)=1\varphi (x) = 1 et t∈It\in \mathbf{I}, on a u(x,t)=u2(x,t)=u(x, t) =u_2(x, t) = σ(x,1)=x\sigma (x,1) =x. Il existe donc une unique application τ:X×I→X\tau : X\times \mathbf{I}\rightarrow X qui coïncide avec uu dans B×IB\times \mathbf{I} et avec l’application pr1_1 dans C×IC\times \mathbf{I}; elle est continue (loc. cit.).

Soit x∈Xx\in X ; on vérifie que l’on a τ(x,1)=1\tau (x,1) = 1. Si, de plus, x∈Ax\in A, alors on a φ(x)=0\varphi (x) = 0, donc τ(x,t)=u1(x,t)=σ(x,0)=x\tau (x, t) =u_1(x, t) =\sigma (x,0) =x. Enfin, si 2φ(x)⩽12\varphi (x)\leqslant 1, alors φ(x)⩽1/2\varphi (x)\leqslant 1/2, donc τ(x,1−2φ(x))=σ(x,0)∈A\tau (x,1-2\varphi (x)) =\sigma (x,0)\in A.

Cela prouve que l’assertion (iv) est vérifiée.

Supposons enfin l’assertion (iv) satisfaite et démontrons que le couple (X,A)(X,A) possède la propriété d’extension des homotopies.

Notons C1C_1 (resp. C2C_2) l’ensemble des couples (x,t)∈X×I(x, t)\in X\times \mathbf{I} tels que t+φ(x)⩽1t+\varphi (x)\leqslant 1 (resp. t+φ(x)⩾t+\varphi (x)\geqslant 1). Ce sont des ensembles fermés. Pour (x,t)∈C1(x, t)\in C_1, on a σ(x,1−φ(x))∈A\sigma (x,1-\varphi (x))\in A ; soit alors ρ1:C1→\rho_1: C_1\rightarrow Cyl(ii) l’application donnée par (x,t)↦αi(σ(x,1−φ(x)),t+φ(x))(x, t)\mapsto \alpha_i(\sigma (x,1-\varphi (x)), t+\varphi (x)) ; elle est continue. Soit aussi ρ2:C2→\rho_2: C_2\rightarrow Cyl(ii) l’application continue donnée par (x,t)↦βi(σ(x,t))(x, t)\mapsto \beta_i(\sigma (x, t)). Pour (x,t)∈C1∩C2(x, t)\in C_1\cap C_2, on a t+φ(x)=1t+\varphi (x) = 1, donc

ρ1(x,t)=αi(σ(x,1−φ(x)),1)=βi(σ(x,1−φ(x))=ρ2(x,t) \rho_1(x, t) =\alpha_i(\sigma (x,1-\varphi (x)),1) =\beta_i(\sigma (x,1-\varphi (x)) =\rho_2(x, t)

Il existe donc une unique application ρ:X×I→\rho : X\times \mathbf{I}\rightarrow Cyl(ii) qui coïncide avec ρ1\rho_1 dans C1C_1 et avec ρ2\rho_2 dans C2C_2; elle est continue (TG, I, p. 19, prop. 4).

Pour x∈Ax\in A et t∈It\in \mathbf{I}, on a φ(x)=0\varphi (x) = 0, donc t+φ(x)⩽1t+\varphi (x)\leqslant 1

ρ(j(αi(x,t)))=ρ(x,t)=αi(σ(x,1),t)=αi(x,t) \rho (j(\alpha_i(x, t))) =\rho (x, t) =\alpha_i(\sigma (x,1), t) =\alpha_i(x, t)

Pour x∈Xx\in X, on a aussi

ρ(j(βi(x)))=ρ(x,1)=βi(σ(x,1))=βi(x) \rho (j(\beta_i(x))) =\rho (x,1) =\beta_i(\sigma (x,1)) =\beta_i(x)

Comme les images des applications αi\alpha_i et βi\beta_i recouvrent Cyl(ii), il en résulte que l’application ρ\rho est une rétraction continue de l’application jj. Par suite, le couple (X,A)(X,A) possède la propriété d’extension des homotopies (III, p. 241, prop. 7), ce qui conclut la preuve du théorème.

Lemme 4 01W0

Soient X et Y des espaces topologiques, soit φ:X→R+\varphi : X\rightarrow \mathbf{R}_+ une application continue, posons A=φ−1(0)A =\overset{-1}{\varphi}(0). Soit σ:X×I→Y\sigma : X\times \mathbf{I}\rightarrow Y une homotopie qui est fixe sur A. L’application σ′:X×I→Y\sigma ': X\times \mathbf{I}\rightarrow Y qui applique (x,s)(x, s) sur σ(x,s/φ(x))\sigma (x, s/\varphi (x)) si s<φ(x)s < \varphi (x) et sur σ(x,1)\sigma (x,1) si s⩾φ(x)s\geqslant \varphi (x) est continue.

L’application σ′\sigma ' est continue en tout point de la partie fermée φ−1([1,+∞[)×I\overset{-1}{\varphi}([1,+\infty [)\times \mathbf{I}; il suffit donc de démontrer que sa restriction à φ−1(I)×I\overset{-1}{\varphi}(\mathbf{I})\times \mathbf{I} est continue. On peut donc supposer que φ(X)⊂I\varphi (X)\subset \mathbf{I}. Soient C et C′C' les sous-espaces de X×IX\times \mathbf{I} formés des couples (x,s)(x, s) tels que s⩽φ(x)s\leqslant \varphi (x) et s⩾φ(x)s\geqslant \varphi (x) respectivement. Ils sont fermés et recouvrent X×IX\times \mathbf{I}. L’application σ′\sigma ' est continue sur C′C'; démontrons qu’elle est continue sur C.

Soit α:X×I→X×I\alpha : X\times \mathbf{I}\rightarrow X\times \mathbf{I} l’application continue donnée par α(x,t)=\alpha (x, t) = (x,tφ(x))(x, t\varphi (x)). Son image est égale à C et σ′∘α\sigma '\circ \alpha est l’application continue σ\sigma. Démontrons que α\alpha est une application propre. Considérons en effet un ultrafiltre U\mathfrak{U} sur X×IX\times \mathbf{I} et un point (x,t)∈X×I(x, t)\in X\times \mathbf{I} qui est adhérent à la base d’ultrafiltre α(U)\alpha (\mathfrak{U}). Puisque pr1∘α=_1\circ \alpha = pr1_1, la base d’ultrafiltre pr1(U)_1(\mathfrak{U}) sur X converge vers xx. Comme I\mathbf{I} est compact, il existe un point s∈Is\in \mathbf{I} tel que la base d’ultrafiltre pr2(U)_2(\mathfrak{U}) converge vers ss. Alors U\mathfrak{U} converge vers (x,s)(x, s). Comme α\alpha est continue, la base d’ultrafiltre α(U)\alpha (\mathfrak{U}) converge vers (x,sφ(x))(x, s\varphi (x)). Comme I\mathbf{I} est séparé, on a sφ(x)=ts\varphi (x) =t, d’où α(x,s)=(x,t)\alpha (x, s) = (x, t), si bien que α\alpha est propre (TG, I, p. 75, th. 1). Il résulte alors de I, p. 18, exemple 2 et prop. 9 que σ′∣C\sigma '|C est continue.

Corollaire 1 01W1

Soit X un espace topologique normal et soit A un sous-espace fermé de X. On suppose qu’il existe un voisinage V de A dans X et une contraction de V sur A, ainsi qu’une application continue f:X→Rf: X\rightarrow \mathbf{R} telle que f−1(0)=A\overset{-1}{f}(0) = A. Alors, le couple (X,A)(X,A) possède la propriété d’extension des homotopies.

Soit ρ:V×I→V\rho : V\times \mathbf{I}\rightarrow V une contraction de V sur A. Par définition d’un espace normal (TG, IX, p. 41, définition 1), il existe une application continue g:X→Ig: X\rightarrow \mathbf{I} qui vaut 0 sur A et 1 en tout point de X - V. Soit φ:X→R\varphi : X\rightarrow \mathbf{R} l’application donnée par φ(x)=∣f(x)∣+g(x)\varphi (x) =|f(x)|+g(x) pour x∈Xx\in X ; elle est continue. On a φ−1(0)=A\overset{-1}{\varphi}(0) = A et φ−1(I)⊂V\overset{-1}{\varphi}(\mathbf{I})\subset V. Soit σ\sigma l’application de φ−1(I)×I\overset{-1}{\varphi}(\mathbf{I})\times \mathbf{I} dans X donnée par σ(x,t)=ρ(x,1−t)\sigma (x, t) =\rho (x,1-t) pour x∈φ−1(I)x\in \overset{-1}{\varphi}(\mathbf{I}) et t∈It\in \mathbf{I}. Pour x∈φ−1(I)x\in \overset{-1}{\varphi}(\mathbf{I}), on a σ(x,1)=ρ(x,0)=x\sigma (x,1) =\rho (x,0) =x et σ(x,0)=ρ(x,1)∈A\sigma (x,0) =\rho (x,1)\in A.

Les applications φ\varphi et σ\sigma vérifient les conditions de l’assertion (iii) du th. 1 de III, p. 243 ; par suite, le couple (X,A)(X,A) possède la propriété d’extension des homotopies.

Exemple 1 01W2

Prenons pour espace X la boule Bn\mathbf{B}_n et pour sous-espace A la sphère Sn−1\mathbf{S}_{n-1}. Si V = X−{0}-\{0\}, il existe une contraction forte de V sur Sn−1(\mathbf{S}_{n-1}(III, p. 237, exemple). Par suite, le couple (Bn,Sn−1)(\mathbf{B}_n,\mathbf{S}_{n-1}) possède la propriété d’extension des homotopies.

Corollaire 2 01W3

Soient X et Y des espaces topologiques, soit A un sous-espace fermé de X, soit B un sous-espace fermé de Y. Si les couples (X,A)(X,A) et (Y,B)(Y,B) possèdent la propriété d’extension des homotopies, il en est de même du couple (X×Y,(X×B)∪(A×Y))(X\times Y,(X\times B)\cup (A\times Y)).

Soient φ:X→R+\varphi : X\rightarrow \mathbf{R}_+ et σ:φ−1(I)×I→\sigma :\overset{-1}{\varphi}(\mathbf{I})\times \mathbf{I}\rightarrow X, resp. φ′:Y→R+\varphi ': Y\rightarrow \mathbf{R}_+

et σ′:ψ−1(I)×I→Y\sigma ':\overset{-1}{\psi}(\mathbf{I})\times \mathbf{I}\rightarrow Y, vérifiant les conditions de l’assertion (iv) du théorème 1 pour le couple (X,A)(X,A), resp. pour le couple (Y,B)(Y,B). Soit ψ:X×Y→R+\psi : X\times Y\rightarrow \mathbf{R}_+ l’application donnée par (x,y)↦(x, y)\mapsto inf(φ(x),φ′(x)\varphi (x), \varphi '(x)) ; elle est continue ; on a aussi ψ(x,y)=0\psi (x, y) = 0 pour tout (x,y)∈X×Y(x, y)\in X\times Y tel que x∈Ax\in A ou y∈By\in B. Pour (x,y,t)∈X×Y×I(x, y, t)\in X\times Y\times \mathbf{I} tel que t+ψ(x)⩾1t+\psi (x)\geqslant 1, on a t+φ(x)⩾1t+\varphi (x)\geqslant 1 et t+φ′(x)⩾1t+\varphi '(x)\geqslant 1. On définit ainsi une application continue

τ:{(x,y,t)∈X×Y×I∣t+ψ(x)⩾1}→X×Y \tau :\{(x, y, t)\in X\times Y\times \mathbf{I}|t+\psi (x)\geqslant 1\} \rightarrow X\times Y

en posant τ(x,y,t)=(σ(x,t),σ′(y,t))\tau (x, y, t) = (\sigma (x, t), \sigma '(y, t)). Pour tout (x,y)∈X×Y(x, y)\in X\times Y, on a τ(x,y,1)=(σ(x,1),σ′(y,1))=(x,y)\tau (x, y,1) = (\sigma (x,1), \sigma '(y,1)) = (x, y). Si, de plus, ψ(x,y)⩽1\psi (x, y)\leqslant 1, alors φ(x)⩽1\varphi (x)\leqslant 1 ou φ′(y)⩽1\varphi '(y)\leqslant 1, si bien que σ(x,1)∈A\sigma (x,1)\in A ou σ′(y,1)∈B\sigma '(y,1)\in B; cela entraîne que τ(x,y,1−ψ(x))\tau (x, y,1-\psi (x)) appartient à (A×Y)∪(X×B)(A\times Y)\cup (X\times B). Cela vérifie l’assertion (iv) du théorème 1, d’où le corollaire.

Exemple 2 01W4

Voici d’autres cas où le couple (X,A)(X,A) possède la propriété d’extension des homotopies.

(i) L’espace X est une variété différentielle paracompacte de classe C1C^1 et A une sous-variété fermée de X. Compte tenu du corollaire1, cela découle de ce que X est parfaitement normal (IX, p. 103, exerc. 11) et que A possède un voisinage tubulaire dans X ;

(ii) L’espace X est un espace cellulaire et A un sous-espace plein relativement à une décomposition cellulaire donnée de X.

8. Attachement d’un espace topologique

Soient X,BX,B des espaces topologiques, soit A un sous-espace de B et soit f:A→Xf: A\rightarrow X une application continue. Notons Y l’espace topologique somme des espaces Y1=XY_1= X et Y2=BY_2= B et identifions Y1Y_1 et Y2Y_2 à des sous-espaces de Y par les injections canoniques. Soit R la relation d’équivalence dans Y la plus fine pour laquelle les éléments aa de Y2Y_2 et f(a)f(a) de Y1Y_1 sont équivalents, pour tout a∈Aa\in A. La relation R est la relation d’égalité dans Y1Y_1. Soit x∈Y1x\in Y_1 et soit b∈Y2b\in Y_2; on a xRbxRb si et seulement si b∈Ab\in A et f(b)=xf(b) =x. Soient b,b′∈Y2b, b'\in Y_2; pour que l’on ait bRb′bRb', il faut et il suffit que b=b′b=b', ou que b,b′∈Ab, b'\in A et f(b)=f(b′)f(b) =f(b').

Définition 9 01W5

L’espace topologique quotient Y/RY/R est appelé l’espace obtenu en attachant à l’espace X l’espace B le long de l’application ff. On le note X∪fBX\cup_fB.

Notons αf:X→X∪fB\alpha_f: X\rightarrow X\cup_fB et βf:B→X∪fB\beta_f: B\rightarrow X\cup_fB les restrictions à Y1Y_1 et Y2Y_2 de la surjection canonique de Y sur Y/RY/R. On a αf∘f=βf∣A\alpha_f\circ f=\beta_f|A.

Remarque 1 01W6

L’application αf\alpha_f est injective. Pour toute partie U

de X, on a αf−1(αf(U))=U\alpha^{-1}_f(\alpha_f(U)) = U et βf−1(αf(U))=f−1(U)\beta^{-1}_f(\alpha_f(U)) =\overset{-1}{f}(U). Si A est une partie ouverte (resp. fermée) de B, ces relations entraînent que αf\alpha_f est une application ouverte (resp. fermée) de X dans X∪fBX\cup_fB.

Soit U une partie ouverte de X et soit V un ouvert de B tel que f−1(U)=V∩A\overset{-1}{f}(U) = V\cap A. La réunion des parties U de Y1Y_1 et V de Y2Y_2 est un ouvert saturé de Y ; son image dans X∪fBX\cup_fB est donc ouverte et sa trace sur αf(X)\alpha_f(X) est αf(U)\alpha_f(U). Par suite, l’application αf\alpha_f définit un homéomorphisme de X sur son image dans X∪fBX\cup_fB.

Remarque 2 01W7

Soit V une partie de B. On a αf−1(βf(V))=f(V∩A)\alpha^{-1}_f(\beta_f(V)) =f(V\cap A) et

βf−1(βf(V))=V∪f−1(f(V∩A))\beta^{-1}_f(\beta_f(V)) = V\cup \overset{-1}{f}(f(V\cap A)). Si A est fermé dans B et si l’application ff est fermée, l’application βf\beta_f est donc fermée. De même, si A est ouvert dans B et si l’application ff est ouverte, l’application βf\beta_f est ouverte.

Dans ces deux cas, l’application βf\beta_f induit alors un homéomorphisme de B-A sur son image.

Remarque 3 01W8

Supposons que A soit fermé et que l’application ff soit propre. On vient de voir que l’application βf\beta_f est fermée. Pour tout x∈Xx\in X,

βf−1(αf(x))=f−1(x)\beta^{-1}_f(\alpha_f(x)) =\overset{-1}{f}(x). C’est donc une partie quasi-compacte de A (TG,

I, p. 75, théorème 1), donc aussi de B. Pour tout b∈B,βf−1(βf(b))b\in B,\beta^{-1}_f(\beta_f(b))

égale {b}\{b\} si b∈B−Ab\in B-A, et f−1(f(b))\overset{-1}{f}(f(b)) si b∈Ab\in A ; dans les deux cas, c’est une partie quasi-compacte de B. Les fibres de l’application βf\beta_f sont donc quasi-compactes ; par suite (loc. cit.), l’application βf\beta_f est propre.

L’application αf\alpha_f est également propre (TG, I, p. 72, prop. 2). Il en résulte que l’application canonique de Y sur X∪fBX\cup_fB est propre.

Exemple 1 01W9

Soient X et Y des espaces topologiques et f:X→Yf: X\rightarrow Y une application continue. Le cylindre Cyl(ff) n’est autre que l’espace obtenu en attachant à l’espace Y l’espace X×IX\times \mathbf{I} le long de l’application f∘f\circ pr1_1 de X×{1}X\times \{1\} dans Y.

Exemple 2 01WA

Soit X un espace topologique, soit B un espace topologique et soit A un sous-espace de B, soit f:A→Xf: A\rightarrow X une application continue qui induit un homéomorphisme de A sur son image.

Posons A′=f(A)A'=f(A) ; soit f′f' l’application de A′A' dans B qui associe à tout x∈A′x\in A' l’unique antécédent de xx par ff. L’application f′∘ff'\circ f est continue ; comme ff est stricte, l’application f′f' est continue. Il existe une unique application continue uu de l’espace X∪fBX\cup_fB dans l’espace B∪f′XB\cup_{f'}X qui applique αf(x)\alpha_f(x) sur βf′(x)\beta_{f'}(x) pour x∈Xx\in X et βf(b)\beta_f(b) sur αf′(b)\alpha_{f'}(b) pour b∈Bb\in B; c’est un homéomorphisme qui applique le sous-espace αf(X)\alpha_f(X) sur le sous-espace βf′(X)\beta_{f'}(X).

Proposition 8 01WB

Soit Z un espace topologique.

a) Soient u:X→Zu: X\rightarrow Z et v:B→Zv: B\rightarrow Z des applications continues telles que v(a)=u(f(a))v(a) =u(f(a)) pour tout a∈Aa\in A. Il existe alors une unique application continue w:X∪fB→Zw: X\cup_fB\rightarrow Z telle que w∘αf=uw\circ \alpha_f=u et w∘βf=vw\circ \beta_f=v.

b) Soient σ:X×I→Z\sigma : X\times \mathbf{I}\rightarrow Z et τ:B×I→Z\tau : B\times \mathbf{I}\rightarrow Z des homotopies. On suppose que τ\tau est fixe sur A et que σ(f(a),t)=τ(a,t)\sigma (f(a), t) =\tau (a, t) pour tout a∈Aa\in A et tout t∈It\in \mathbf{I}. Il existe alors une unique homotopie η:(X∪fB)×I→Z\eta : (X\cup_fB)\times \mathbf{I}\rightarrow Z telle que η(αf(x),t)=σ(x,t)\eta (\alpha_f(x), t) =\sigma (x, t) et η(βf(b),t)=τ(b,t)\eta (\beta_f(b), t) =\tau (b, t) pour x∈X,b∈Bx\in X,b\in B et t∈It\in \mathbf{I}. Cette homotopie est fixe sur βf(A)\beta_f(A).

La proposition résulte immédiatement de la définition d’un espace quotient et de la prop. 10 (I, p. 19).

Corollaire 1 01WC

Soit B′B' un espace topologique, soit A′A' un sous-espace de B′B' et soit f′:A′→f': A'\rightarrow X une application continue. Soit v:B→B′v: B\rightarrow B' une application continue telle que v(A)⊂A′v(A)\subset A' et ff = f′∘(v∣A)f'\circ (v|A). Soit w:X∪fB→X∪f′B′w: X\cup_fB\rightarrow X\cup_{f'}B' l’unique application continue telle que w∘αf=αf′w\circ \alpha_f=\alpha_{f'} et w∘βf=βf′∘vw\circ \beta_f=\beta_{f'}\circ v. Si vv définit une homéotopie du couple (B,A)(B,A) sur le couple (B′,A′)(B',A'), alors ww définit une homéotopie du couple (X∪fB,αf(X))(X\cup_fB, \alpha_f(X)) sur le couple (X∪f′B′,αf′(X))(X\cup_{f'}B', \alpha_{f'}(X)).

Soit v′:B′→Bv': B'\rightarrow B une application continue, soit τ:B×I→B\tau : B\times \mathbf{I}\rightarrow B une homotopie fixe sur A reliant IdB_B à v′∘vv'\circ v et soit τ′:B′×I→B′\tau ': B'\times \mathbf{I}\rightarrow B' une homotopie fixe sur A′A' reliant IdB′_{B'} à v∘v′v\circ v'. Pour a′∈A′a'\in A' et a=v′(a′)a=v'(a'), on a les relations a′=v(a)a'=v(a) et βf(v′(a′))=βf(a)=αf(f(a))=αf(f′(a′))\beta_f(v'(a')) =\beta_f(a) =\alpha_f(f(a)) =\alpha_f(f'(a')). D’après la prop. 8, a), il existe une unique application w′:X∪f′B′→w': X\cup_{f'}B'\rightarrow X∪fBX\cup_fB telle que w′∘αf′=αf′w'\circ \alpha_{f'}=\alpha_{f'} et w′∘βf′=βf∘v′w'\circ \beta_{f'}=\beta_f\circ v'. D’après la prop. 8, b), il existe une unique homotopie η:(X∪fB)×I→X∪f′B′\eta : (X\cup_fB)\times \mathbf{I}\rightarrow X\cup_{f'}B' telle que η(αf(x),t)=αf′(x)\eta (\alpha_f(x), t) =\alpha_{f'}(x) et η(βf(b),t)=βf′(τ(b,t))\eta (\beta_f(b), t) =\beta_{f'}(\tau (b, t)) pour x∈X,b∈Bx\in X,b\in B et t∈It\in \mathbf{I}. Il existe de même une unique homotopie η′:(X∪f′B′)×I→\eta ': (X\cup_{f'}B')\times \mathbf{I}\rightarrow X∪fBX\cup_fB telle que η′(αf′(x),t)=αf(x)\eta '(\alpha_{f'}(x), t) =\alpha_f(x) et η′(βf′(b),t)=βf(τ′(b,t))\eta '(\beta_{f'}(b), t) =\beta_f(\tau '(b, t)) pour x∈X,b∈B′x\in X,b\in B' et t∈It\in \mathbf{I}. L’application de (X∪fB)×I(X\cup_fB)\times \mathbf{I} dans X∪fBX\cup_fB donnée par (x,t)↦η′(η(x,t),t)(x, t)\mapsto \eta '(\eta (x, t), t) est alors une homotopie fixe sur αf(X)\alpha_f(X) reliant l’application identique de X∪fBX\cup_fB à l’application w′∘ww'\circ w. De même, l’application de (X∪f′B′)×I(X\cup_{f'}B')\times \mathbf{I} dans X∪f′B′X\cup_{f'}B' donnée par (x,t)↦η(η′(x,t),t)(x, t)\mapsto \eta (\eta '(x, t), t) est une homotopie fixe sur αf′(X)\alpha_{f'}(X) reliant l’application identique de X∪f′B′X\cup_{f'}B' à l’application w∘w′w\circ w'. Le corollaire en résulte.

Exemple 3 01WD

Notons ii l’injection canonique de A dans B et prenons pour espace B′B' le cylindre de l’application ii; notons αi:A×I→\alpha_i: A\times \mathbf{I}\rightarrow Cyl(ii) et βi:B→\beta_i: B\rightarrow Cyl(ii) les applications canoniques et ri:r_i: Cyl(ii)→B\rightarrow B la rétraction canonique du cylindre Cyl(ii) sur sa base. Soit A0A_0 le sous-espace αi(A×{0})\alpha_i(A\times \{0\}) de Cyl(ii) et notons f0:A0→Xf_0: A_0\rightarrow X l’application f∘rif\circ r_i. Pour a∈Aa\in A, on a

βf∘ri(αi(a,0))=βf(a)=αf(f0(αi(a,0)))=αf(f(a)) \beta_f\circ r_i(\alpha_i(a,0)) =\beta_f(a) =\alpha_f(f_0(\alpha_i(a,0))) =\alpha_f(f(a))

Soit η:X∪f0\eta : X\cup_{f_0} Cyl(ii)→X∪fB\rightarrow X\cup_fB l’unique application continue telle que η∘αf0=αf\eta \circ \alpha_{f_0}=\alpha_f et η∘βf0=βf∘ri\eta \circ \beta_{f_0}=\beta_f\circ r_i. Supposons que le couple (B,A)(B,A) possède la propriété d’extension des homotopies. Alors, l’application rir_i définit une homéotopie du couple (Cyl(ii),A0,A_0) sur le couple (B,A)(B,A) (III, p. 243, th. 1). D’après le corollaire 1, l’application η\eta définit alors une homéotopie du couple (X∪f′B′,αf′(X))(X\cup_{f'}B', \alpha_{f'}(X)) sur le couple (X∪fB,αf(X))(X\cup_fB, \alpha_f(X)). En particulier, η\eta est une homéotopie.

Corollaire 2 01WE

Soit X′X' un espace topologique, soit u:X→X′u: X\rightarrow X' une application continue, posons f′=u∘ff'=u\circ f. Soit w:X∪fB→X′∪f′Bw: X\cup_fB\rightarrow X'\cup_{f'}B l’unique application continue telle que w∘αf=αf′∘uw\circ \alpha_f=\alpha_{f'}\circ u et w∘βf=βf′w\circ \beta_f=\beta_{f'}. Si uu définit une homéotopie du couple (X,f(A))(X, f(A)) sur le couple (X′,f′(A))(X', f'(A)), alors ww définit une homéotopie du couple (X∪fB,βf(B))(X\cup_fB, \beta_f(B)) sur le couple (X′∪f′B,βf′(B))(X'\cup_{f'}B, \beta_{f'}(B)).

La démonstration est analogue à celle du corollaire 1.

Proposition 9 01WF

Soient X et B des espaces topologiques, soit A un sous-espace de B et soit f:A→Xf: A\rightarrow X une application continue.

a) Si le couple (B,A)(B,A) possède la propriété d’extension des homotopies, il en est de même du couple (X∪fB,αf(X))(X\cup_fB, \alpha_f(X)).

b) Supposons que l’application ff soit injective et stricte. Si le couple (X,f(A))(X, f(A)) possède la propriété d’extension des homotopies, il en est de même du couple (X∪fB,βf(B))(X\cup_fB, \beta_f(B)).

a) Supposons que le couple (B,A)(B,A) possède la propriété d’extension des homotopies. Soit Z un espace topologique, soit u:X∪fB→Zu: X\cup_fB\rightarrow Z une application continue et soit σ:αf(X)×I→Z\sigma :\alpha_f(X)\times \mathbf{I}\rightarrow Z une homotopie dont le terme est la restriction de uu au sous-espace αf(X)\alpha_f(X).

Posons v1=u∘αfv_1=u\circ \alpha_f et notons τ1:X×I→Z\tau_1: X\times \mathbf{I}\rightarrow Z l’application donnée par (x,t)↦σ(αf(x),t)(x, t)\mapsto \sigma (\alpha_f(x), t). Posons v2=u∘βfv_2=u\circ \beta_f. Comme βf∣A=αf∘f\beta_f|A =\alpha_f\circ f, l’application de A×IA\times \mathbf{I} dans Z qui applique (a,t)(a, t) sur σ(αf(f(a)),t)\sigma (\alpha_f(f(a)), t) pour a∈Aa\in A et t∈It\in \mathbf{I} est une homotopie dont le terme est égal à l’application v2∣Av_2|A. Puisque le couple (B,A)(B,A) possède la propriété d’extension des homotopies, il existe une homotopie τ2:B×I→Z\tau_2: B\times \mathbf{I}\rightarrow Z dont le terme est l’application v2v_2 et telle que τ2(a,t)=σ(αf(f(a)),t)\tau_2(a, t) =\sigma (\alpha_f(f(a)), t) pour (a,t)∈A×I(a, t)\in A\times \mathbf{I}.

Pour a∈Aa\in A et t∈It\in \mathbf{I}, on a τ2(a,t)=τ1(f(a),t)\tau_2(a, t) =\tau_1(f(a), t). D’après la proposition 8, il existe une unique application continue σ:(X∪fB)×I→Z\sigma : (X\cup_fB)\times \mathbf{I}\rightarrow Z telle que σ(αf(x),t)=σ1(x,t)\sigma (\alpha_f(x), t) =\sigma_1(x, t) et σ(βf(b),t)=σ2(b,t)\sigma (\beta_f(b), t) =\sigma_2(b, t), pour x∈Xx\in X, b∈Bb\in B et t∈It\in \mathbf{I}. C’est une homotopie de terme uu qui prolonge τ\tau, d’où l’assertion a).

b) Compte tenu de l’exemple 2 (III, p. 249), l’assertion b) résulte de l’assertion a).

9. Espace obtenu par contraction d’un sous-espace

Soit X un espace topologique et soit A une partie de X. Considérons la relation d’équivalence R dans X la plus fine pour laquelle tous les éléments de A sont équivalents : deux éléments de X sont équivalents suivant cette relation s’ils sont égaux ou s’ils appartiennent tous deux à A.

Définition 10 01WG

L’espace quotient de X par R se note X/AX/A et s’appelle l’espace obtenu à partir de X par contraction du sous-ensemble A.

Notons ρ:X→X/A\rho : X\rightarrow X/A la surjection canonique. Soit Y un espace topologique et soit f:X→Yf: X\rightarrow Y une application continue. Pour qu’il existe une application continue g:X/A→Yg: X/A\rightarrow Y telle que g∘ρ=fg\circ \rho =f, il faut et il suffit que ff soit constante sur A.

Si l’ensemble A est fermé (resp. ouvert) dans X, l’application ρ\rho est fermée (resp. ouverte) et induit un homéomorphisme de X-A sur son image. Si A est une partie fermée et quasi-compacte de X, l’application ρ\rho est propre (TG, I, p. 75, th. 1).

Si l’ensemble A est vide, ρ\rho est un homéomorphisme. S’il n’est pas vide, A est un point de X/AX/A que l’on appelle le point-base de X/AX/A et que l’on note sX/As_{X/A}. L’espace X/AX/A s’identifie alors à l’espace obtenu en attachant à l’espace {sX/A}\{s_{X/A}\} l’espace X au moyen de l’unique application de A dans {sX/A}\{s_{X/A}\}.

Proposition 10 01WH

Soit X un espace topologique et soit A une partie de xx. Supposons qu’il existe une homotopie σ:X×I→X\sigma : X\times \mathbf{I}\rightarrow X d’origine IdX_X, constante sur A×{1}A\times \{1\} et telle que σ(A×I)⊂A\sigma (A\times \mathbf{I})\subset A. Alors, l’application canonique ρ\rho de X dans X/AX/A est une homéotopie.

Notons ff le terme de σ\sigma. C’est une application continue de X dans X, homotope à IdX_X. Elle est constante sur A ; il existe donc une unique application continue g:X/A→Xg: X/A\rightarrow X telle que g∘ρ=fg\circ \rho =f. D’autre part, comme σ(A×I)⊂A\sigma (A\times \mathbf{I})\subset A, il existe une application σ′\sigma ' de X/A×IX/A\times \mathbf{I} dans X/AX/A telle que σ′(ρ(x),t)=ρ(σ(x,t))\sigma '(\rho (x), t) =\rho (\sigma (x, t)) pour tout x∈Xx\in X et tout t∈It\in \mathbf{I}. D’après I, p. 19, prop. 10, l’application σ′\sigma ' est continue. C’est une homotopie reliant l’application identique de X/AX/A à l’application ρ∘g\rho \circ g. Par suite, les applications gg et ρ\rho sont des homéotopies réciproques l’une de l’autre à homotopie près.

Remarque 01WI

Soit X un espace topologique et soit A une partie de X.

1) Si l’application canonique de X sur X/AX/A est une homéotopie, il existe une homotopie σ:X×I→X\sigma : X\times \mathbf{I}\rightarrow X d’origine IdX_X qui est constante sur A×{1}A\times \{1\}. Mais il se peut qu’il n’en existe aucune satisfaisant en outre à la condition σ(A×I)⊂A\sigma (A\times \mathbf{I})\subset A (III, p. 322, exerc. 4).

2) Il peut exister une homotopie reliant l’application identique de X à une application de X dans X qui est constante sur A sans que les espaces X et X/AX/A soient homéotopes (III, p. 325, exerc. 14).

3) Supposons que A soit contractile. Si le couple (X,A)(X,A) possède la propriété d’extension des homotopies, l’application canonique de X sur X/AX/A est une homéotopie. Soit en effet σ:A×I→A\sigma : A\times \mathbf{I}\rightarrow A une homotopie dont l’origine est l’application identique de A et dont le terme est une application constante. Il existe alors une homotopie σ′\sigma ' d’origine IdX_X qui étend σ\sigma. L’assertion résulte ainsi de la proposition 10.

4) Soient X et Y des espaces topologiques, soit A un sous-espace non vide de X et soit B un sous-espace de Y. Soit f:X→Yf: X\rightarrow Y une application continue telle que f(A)⊂Bf(A)\subset B. Notons φ:X/A→Y/B\varphi : X/A\rightarrow Y/B l’application continue déduite de ff par passage aux quotients. Si ff définit une homéotopie du couple (X,A)(X,A) sur le couple (Y,B)(Y,B), l’application φ\varphi est une homéotopie du couple (X/A,sX/A)(X/A, s_{X/A}) sur le couple (Y/B,sY/B)(Y/B, s_{Y/B}). Soit P un espace topologique réduit à un point, soient α\alpha et β\beta les applications constantes de A et B dans P. Observons que l’application φ\varphi s’identifie à l’application de P∪αXP\cup_{\alpha}X dans P∪βYP\cup_{\beta}Y déduite de ff et de l’application identique de P. L’assertion découle alors du corollaire 1 de III, p. 249.

10. Cône d’une application

Soient X et Y des espaces topologiques et soit ff une application continue de X dans Y. Soit Cyl(ff) le cylindre de l’application ff. Notons αf\alpha_f l’application canonique de X×IX\times \mathbf{I} dans Cyl(ff) et f0f_0 l’application x↦αf(x,0)x\mapsto \alpha_f(x,0) de X dans Cyl(ff) ; ces applications induisent des homéo-morphismes de X×IX\times \mathbf{I} et X respectivement sur leurs images dans Cyl(ff).

Définition 11 01WJ

On appelle cône de l’application ff et on note Côn(f)(f) l’espace topologique déduit de Cyl(ff) par contraction de f0(X)f_0(X).

Notons βf′:Y→\beta '_f: Y\rightarrow Côn(f)(f) la composition de l’application canonique βf:Y→\beta_f: Y\rightarrow Cyl(ff) et de la surjection canonique de Cyl(ff) sur Côn(f)(f). L’application βf′\beta '_f est continue et définit un homéomorphisme de Y sur une partie fermée de Côn(f)(f), appelée base du cône, et que nous identifierons ainsi à Y.

Notons αf′:X×I→\alpha '_f: X\times \mathbf{I}\rightarrow Côn(f)(f) la composition de l’application αf\alpha_f et de la surjection canonique de Cyl(ff) sur Côn(f)(f). L’application αf′\alpha '_f est une homotopie dont l’origine est une application constante et dont le terme est l’application βf′∘f\beta '_f\circ f.

Si X est vide, l’application βf′\beta '_f est un homéomorphisme de Y sur Côn(f)(f).

Supposons que X ne soit pas vide. Notons alors ss le point-base de l’espace Cyl(ff)/f0(X)/f_0(X); on dit que c’est le sommet du cône Côn(f)(f). Comme f0(X)f_0(X) est fermé dans Cyl(ff), l’application canonique π:\pi : Cyl(ff)→\rightarrow Côn(f)(f) induit un homéomorphisme de Cyl(ff)−f0(X)-f_0(X) sur Côn(f)−{s}((f)-\{s\}(III, p. 252). Le sommet du cône Côn(f)(f) n’appartient pas à sa base ; l’injection canonique de Y dans Côn(f)−{s}(f)-\{s\} est une homéotopie (III, p. 239, prop. 6).

Soit σf:\sigma_f: Cyl(ff)×I→\times \mathbf{I}\rightarrow Cyl(ff) la contraction canonique du cylindre de ff sur sa base. Pour c∈c\in Cyl(ff)−f0(X)-f_0(X) et t∈It\in \mathbf{I}, on a σf(c,t)∉f0(X)\sigma_f(c, t)\notin f_0(X). Par suite, il existe une unique application σf′:(\sigma '_f: (Côn(f)−{s})×I→(f)-\{s\})\times \mathbf{I}\rightarrow Côn(f)−{s}(f)-\{s\} telle que σf′(π(c),t)=π(σf(c,t))\sigma '_f(\pi (c), t) =\pi (\sigma_f(c, t)) pour c∈c\in Cyl(ff)−f0(X)-f_0(X) et t∈It\in \mathbf{I}. Elle est continue et c’est une contraction forte de Côn(f)−{s}(f)-\{s\} sur Y. On dit que c’est la contraction canonique de Côn(f)−{s}(f)-\{s\} sur sa base. Son terme est une rétraction de Côn(f)−{s}(f)-\{s\} sur Y qu’on appelle la rétraction canonique du cône privé de son sommet sur sa base.

Proposition 11 (Propriété universelle des cônes)

Soit Z un espace topologique, soit β:Y→Z\beta : Y\rightarrow Z une application continue et soit α:X×I→Z\alpha : X\times \mathbf{I}\rightarrow Z une homotopie dont l’origine est une application constante et dont le terme est égal à β∘f\beta \circ f. Il existe une unique application continue φ\varphi de Côn(f)(f) dans Z telle que α=φ∘αf′\alpha =\varphi \circ \alpha '_f et β=φ∘βf′\beta =\varphi \circ \beta '_f.

D’après la propriété universelle des cylindres (III, p. 238, prop. 4), il existe une unique application continue h:h: Cyl(ff)→\rightarrow Z telle que α=h∘αf\alpha =h\circ \alpha_f et β=h∘βf\beta =h\circ \beta_f. Comme l’origine de α\alpha est une application constante, la restriction de hh au sous-espace αf(X×{0})\alpha_f(X\times \{0\}) est constante. Il existe donc une unique application continue φ:\varphi : Côn(f)→Z(f)\rightarrow Z telle que h=φ∘πh=\varphi \circ \pi, où π\pi désigne la surjection canonique de Cyl(ff) sur Côn(f)(f). L’application φ\varphi vérifie α=φ∘αf′\alpha =\varphi \circ \alpha '_f et β=φ∘βf′\beta =\varphi \circ \beta '_f et c’est la seule ayant ces propriétés, car les images de αf′\alpha '_f et βf′\beta '_f recouvrent Côn(f)(f).

Exemple 1 01WK

Soit X un espace topologique. On note C(X), et on appelle cône de l’espace X, le cône de l’application IdX_X; c’est l’espace déduit de X×IX\times \mathbf{I} par contraction de X×{0}X\times \{0\}. Soit π\pi l’application canonique de X×IX\times \mathbf{I} dans C(X) ; l’image C′(X)C'(X) de X×[0,1[X\times [0,1[ par π\pi est appelé le cône ouvert de l’espace X.

Supposons que X n’est pas vide. Alors, le cône C(X) n’est pas vide et son point-base est encore appelé le sommet du cône.

L’application ((x,t),u)↦(x,t(1−u))((x, t), u)\mapsto (x, t(1-u)) de (X×I)×I(X\times \mathbf{I})\times \mathbf{I} dans X×IX\times \mathbf{I} est une homotopie reliant l’application identique de X×IX\times \mathbf{I} à l’application (x,t)↦(x,0)(x, t)\mapsto (x,0). On en déduit, par passage aux ensembles quotients, une application σ:C(X)×I→C(X)\sigma : C(X)\times \mathbf{I}\rightarrow C(X) telle que σ(π(x,t),u)=π(x,t(1−u))\sigma (\pi (x, t), u) =\pi (x, t(1-u)) pour x∈X,t,u∈Ix\in X,t, u\in \mathbf{I}. L’application σ\sigma est continue d’après I, p. 19, prop. 10. L’application σ\sigma est alors une homotopie pointée en ss reliant l’application identique de C(X) à l’application constante d’image {s}\{s\}. Par suite, le cône C(X) est contractile en son sommet ss. Comme σ(C′(X)×I)\sigma (C'(X)\times \mathbf{I}) est contenu dans C′(X)C'(X), l’application σ\sigma définit, par passage aux sous-espaces, une homotopie pointée en ss reliant l’application identique de C′(X)C'(X) à l’application constante d’image {s}\{s\}; le cône ouvert C′(X)C'(X) est donc contractile en ss.

Remarque 1 01WL

Soit X un espace topologique et soit A un sous-espace de X ; notons ii l’injection canonique de A dans X. La rétraction canonique rir_i du cylindre Cyl(ii) sur sa base applique le sous-espace αi(A×{0})\alpha_i(A\times \{0\}) dans A. Soit ρ:\rho : Côn(i)→X/A(i)\rightarrow X/A l’application continue qui s’en déduit par passage aux quotients. Supposons que le couple (X,A)(X,A) possède la propriété d’extension des homotopies. D’après III, p. 243, théorème 1, l’application rir_i définit une homéotopie du couple (Cyl(ii),αi(A×{0}), \alpha_i(A\times \{0\})) sur le couple (X,A)(X,A). D’après la remarque 4 de III, p. 253, l’application ρ\rho est alors une homéotopie du couple (Côn(i),s(i), s) sur le couple (X,sX/A)(X, s_{X/A}). C’est en particulier une homéotopie.

Remarque 2 01WM

Soient X et Y des espaces topologiques et soit f:X→Yf: X\rightarrow Y une application continue. L’application canonique αf′:X×I→\alpha '_f: X\times \mathbf{I}\rightarrow Côn(f)(f) est constante sur X×{0}X\times \{0\} donc définit une application continue γf:C(X)→\gamma_f: C(X)\rightarrow Côn(f)(f). La restriction à C′(X)C'(X) de l’application γf\gamma_f est injective et stricte et définit par passage aux sous-espaces un homéomorphisme du cône ouvert C′(X)C'(X) sur le complémentaire de Y dans Côn(f)(f).

Identifions la base du cône C(X) à l’espace X et notons uu l’application continue de Y∪fC(X)Y\cup_fC(X) dans Côn(f)(f) déduite des applications βf′:Y→\beta '_f: Y\rightarrow Côn(f)(f) et γf:C(X)→\gamma_f: C(X)\rightarrow Côn(f)(f). Inversement, soit v:v: Côn(f)→Y∪fC(X)(f)\rightarrow Y\cup_fC(X) l’unique application continue telle que v∘αf′v\circ \alpha '_f soit l’application canonique de X×IX\times \mathbf{I} sur C(X) et v∘βf′v\circ \beta '_f soit l’application canonique de Y sur Y∪fC(X)Y\cup_fC(X). Les applications uu et vv sont des homéomorphismes réciproques l’un de l’autre.

Exercices

See the exercises for § 1.

Transcribed from the printed volume. Not translated.