L’espace topologique $\mathbf{I}$ étant localement compact, la proposition résulte de TG, X, p. 28, th. 3.

On note $o$ et on appelle application origine l’application $c\mapsto c(0)$ de Λ(X) dans X ; on note $e$ et on appelle application terme l’application $c\mapsto c(1)$ de Λ(X) dans X. Les applications $o$ et $e$ sont continues (TG, X, p. 27, remarque 1). Les couples de chemins juxtaposables dans X sont les éléments du produit fibré des X-espaces $(\Lambda (X), e)$ et $(\Lambda (X), o)$.

L’application $t\mapsto 1-t$ est un homéomorphisme de l’espace $\mathbf{I}$ sur lui-même ; la première assertion en résulte.

Notons C le produit fibré $(\Lambda (X), e)\times_X(\Lambda (X), o)$. Notons $\gamma : C\rightarrow$ Λ(X) l’application $(c, d)\mapsto c*d$ et $\delta : C\times \mathbf{I}\rightarrow$ X l’application $((c, d), t)\mapsto (c*d)(t)$. Les restrictions de l’application $\delta$ à $C\times [0,\frac{1}{2}]$ et $C\times [\frac{1}{2},1]$ sont continues en vertu de la formule (1) et de la prop. 1. L’application $\delta$ est donc continue (TG, I, p. 19, prop. 4), ainsi que l’application $\gamma$ (prop. 1). On a $c(t) = (c*d)(\frac{t}{2})$ et $d(t) = (c*d)(\frac{1+t}{2})$, donc $\gamma$ est injective.

Soit $g$ un chemin dans X ; pour $t\in \mathbf{I}$, posons

$c_g(t) =g(\frac{t}{2})$ et $d_g(t) =g(\frac{1 + t}{2})$.

Les applications $c_g$ et $d_g$ ainsi définies sont des chemins juxtaposables dans X et l’on a $c_g*d_g=g$. En outre, les applications $g\mapsto c_g$ et $g\mapsto d_g$ sont des applications continues de l’espace Λ(X) dans lui-même (prop. 1). Il en résulte que l’application $\gamma$ est un homéomorphisme.

Soient X un espace connexe par arcs, $f: X\rightarrow Y$ une application continue. Soient $x$ et $y$ deux points de $f(X)$ ; soient $x'$ et $y'$ des points de X tels que $f(x') =x$ et $f(y') =y$. Il existe un chemin $c$ dans X dont l’origine est $x'$ et le terme $y'$. Alors, $f\circ c$ est un chemin dans $f(X)$ d’origine $x$ et de terme $y$.

Comme tout intervalle de $\mathbf{R}$ est connexe, l’image d’un chemin est connexe (TG, I, p. 82, prop. 4). L’espace vide est connexe. Puisqu’un espace connexe par arcs non vide est réunion des images des chemins issus de l’un de ses points, il est connexe (TG, I, p. 81, prop. 2).

Compte tenu de l’identification (III, p. 256, remarque 1) des chemins dans X aux homotopies entre applications d’un espace topologique P réduit à un point dans X, la proposition 1 de III, p. 230 entraîne :

On appelle composantes connexes par arcs d’un espace topologique X les classes d’équivalence pour la relation ci-dessus. Une composante connexe par arcs est un espace connexe par arcs. Soit $x$ un point de X. La composante connexe par arcs de $x$ est la réunion des sous-espaces connexes par arcs de X contenant $x$. C’est aussi la réunion des images des chemins d’origine $x$ dans X.

$(\pi_0$(pr$_j$))$:\pi_0(\prod_{j\in J}Y_j)\rightarrow \prod_{j\in J}\pi_0(Y_j)$

est bijective. En particulier, l’espace produit d’une famille d’espaces connexes par arcs est connexe par arcs.

Cela résulte de la proposition 3 de III, p. 231 où l’on prend pour X un espace réduit à un point.

La première assertion résulte de la prop. 4. Démontrons la seconde assertion. Soit X un espace topologique localement connexe par arcs et soit C une composante connexe par arcs de X. Tout point de C possède un voisinage connexe par arcs, donc contenu dans C ; par suite, C est une partie ouverte de X. Les composantes connexes par arcs formant une partition de X, une telle composante est aussi fermée. Comme elle est connexe (III, p. 258, prop. 4), c’est une composante connexe (TG, I, p. 83). La troisième assertion résulte de la seconde.

Remarquons ainsi qu’il n’y a pas d’ambiguïté à dire qu’un espace topologique est connexe et localement connexe par arcs.

La première assertion découle aussitôt de la déf. 4 et de la définition d’une application étale (I, p. 28, déf. 2). La seconde s’en déduit par la prop. 7.

Pour qu’un espace topologique X soit localement connexe par arcs, il faut et il suffit que toute composante connexe par arcs d’un ensemble ouvert de X soit un ensemble ouvert de X (cf. I, p. 85, démonstration de la prop. 11). Si l’espace X est localement connexe par arcs, tout point de X possède donc un système fondamental de voisinages ouverts connexes par arcs.

Soit X un espace localement connexe par arcs, soit R une relation d’équivalence dans X et soit $\varphi : X\rightarrow X/R$ l’application canonique. Il suffit de démontrer que les composantes connexes par arcs d’un ouvert de $X/R$ sont ouvertes. Soit ainsi A une partie ouverte de $X/R$ et soit C une composante connexe par arcs de A. Soit $x\in \overset{-1}{\varphi}(C)$, et soit K la composante connexe par arcs de $x$ dans $\overset{-1}{\varphi}(A)$. L’ensemble $\varphi (K)$ est connexe par arcs (III, p. 258, prop. 3), contenu dans A et contient $\varphi (x)$ ; on a donc $\varphi (K)\subset C$, d’où $K\subset \overset{-1}{\varphi}(C)$. Cela prouve que $\overset{-1}{\varphi}(C)$ est réunion de composantes connexes par arcs de $\overset{-1}{\varphi}(A)$. Comme X est localement connexe par arcs et que $\overset{-1}{\varphi}(A)$ est ouvert dans X$,\overset{-1}{\varphi}(C)$ est ouvert dans X. Par suite, C est ouvert dans $X/R$. Cela démontre la proposition.

Soit $(X_j)_{j\in J}$ une famille d’espaces localement connexes par arcs qui soient connexes, à l’exception d’un nombre fini d’entre eux. Soit $x=$ $(x_j)_{j\in J}$ un point de l’espace produit X = $\prod_{j\in J}X_j$. Par hypothèse, un système fondamental de voisinages de $x$ dans X est constitué des ensembles de la forme $V =\prod_{j\in J}V_j$ où, pour tout $j\in J$, $V_j$ est un voisinage connexe par arcs de $x_j$ dans $X_j$ et où $V_j= X_j$ sauf pour un ensemble fini d’indices $j\in J$ (TG, I, p. 24). Ces ensembles étant connexes par arcs (III, p. 260, prop. 6), X est localement connexe par arcs.

Tout point de $\mathbf{R}$ possède une base de voisinages formée d’intervalles ; par suite, $\mathbf{R}$ est localement connexe par arcs. D’après la proposition 9, l’espace numérique $\mathbf{R}^n$ est localement connexe par arcs, pour tout entier $n\geqslant 1$. En outre, un ouvert d’un espace topologique localement connexe par arcs est encore connexe par arcs, d’où le corollaire.

Nous savons déjà que les applications origine $o$ et terme $e$ de Λ(X) dans X sont continues (III, p. 257), d’où la première assertion.

$c'(t)\in V_0$ pour $0\leqslant t\leqslant \varepsilon$,

(2) $c'(t) =c(t)$ pour $\varepsilon \leqslant t\leqslant 1-\varepsilon$,

$c'(t)\in V_1$ pour $1-\varepsilon \leqslant t\leqslant 1$,

appartient à W.

Par définition de la topologie de la convergence compacte (TG, X, p. 26, déf. 1), il existe un ensemble fini J, une famille $(U_j)_{j\in J}$ d’ensembles ouverts dans X et une famille $(K_j)_{j\in J}$ de parties compactes de $\mathbf{I}$ tels que l’ensemble $W'$ des chemins $c'$ vérifiant $c'(K_j)\subset U_j$ pour tout indice $j$ soit un voisinage de $c$ contenu dans W. Notons alors $A_0$ (resp. $A_1$) l’ensemble des indices $j$ tels que $0\in K_j$ (resp. $1\in K_j$); posons $V_0=\bigcap_{j\in A_0}U_j$ et $V_1=\bigcap_{j\in A_1}U_j$.

Comme l’application $c$ est continue, il existe un nombre réel $\varepsilon \in$ $]0,1/2]$ tel que $c([0, \varepsilon ])\subset V_0,c([1-\varepsilon ,1])\subset V_1,[0, \varepsilon ]\cap K_j=\emptyset$ pour tout $j\notin A_0$ et $[1-\varepsilon ,1]\cap K_j=\emptyset$ pour tout $j\notin A_1$. Soit alors $c'$ un chemin satisfaisant aux conditions (2). Démontrons que $c'\in W'$. Soit $j\in J$ et soit $t\in K_j$. Si $\varepsilon \leqslant t\leqslant 1-\varepsilon ,c'(t) =c(t)$ appartient à $U_j$. Si $0\leqslant t\leqslant \varepsilon ,c'(t)\in V_0$; par le choix de $\varepsilon$, on a $j\in A_0$, donc $c'(t)\in U_j$. De même, si $1-\varepsilon \leqslant t\leqslant 1$, on a $j\in A_1$ et $c'(t)\in V_1\subset U_j$. Ainsi, $c'(K_j)\subset U_j$ et $c'$ appartient à $W'$, donc à W.

Démontrons maintenant la seconde assertion de la prop. 10. Supposons l’espace X localement connexe par arcs. Soit $c$ un chemin dans X et soit W un voisinage de $c$ dans $\mathscr{C}_c(\mathbf{I}; X)$. Soient $\varepsilon ,V_0$ et $V_1$ comme dans le lemme. Soient $T_0$ et $T_1$ des voisinages connexes par arcs de $c(0)$ et $c(1)$ contenus dans $V_0$ et $V_1$ respectivement. Il existe un nombre réel $\theta$ tel que $0< \theta < \varepsilon$ et tel que $c([0, \theta ])\subset T_0,c([1-\theta ,1])\subset T_1$. Soient $x_0\in T_0$ et $x_1\in T_1$; soit $c_0$ un chemin d’origine $x_0$ et de terme $c(\theta )$ dans $T_0$ et soit $c_1$ un chemin d’origine $x_1$ et de terme $c(1-\theta )$ dans $T_1$. Posons

$c_0(t/\theta )$ pour $0\leqslant t\leqslant \theta$,

$c'(t) =c(t)$ pour $\theta \leqslant t\leqslant 1-\theta$,

$c_1((1-t)/\theta )$ pour $1-\theta \leqslant t\leqslant 1$.

On définit ainsi un chemin $c'$ reliant $x_0$ à $x_1$ et satisfaisant aux conditions (2). Cela prouve que l’image de W dans $X\times X$ par l’application $(o, e)$ contient le voisinage $T_0\times T_1$ de $(c(0), c(1))$, d’où la proposition.

D’après la proposition, l’application $\varphi : \Lambda (X)\rightarrow X\times X$ définie par $\varphi (c) = (c(0), c(1))$ est ouverte et l’on a $\Lambda_x(X) =\overset{-1}{\varphi}(\{x\} \times X)$. Par suite, l’application $\Lambda_x(X)\rightarrow \{x\} \times X$ déduite de $\varphi$ est ouverte (TG, I, p. 30, prop. 2), ainsi que sa composée avec la seconde projection pr$_2$.

Soit X un espace topologique. Appelons train dans X toute suite finie non vide $T = (W_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ de parties ouvertes connexes de X telles que $W_i\cap W_{i+1}=\not\emptyset$ pour $1\leqslant i\leqslant n-1$. On dit que $n$ est la longueur du train T et que les $W_i$ sont ses wagons. Si X est muni d’une distance compatible avec sa topologie, on appelle largeur du train T le maximum des diamètres de ses wagons. On dit que le train joint un point $a$ à un point $b$ si $a$ appartient au premier et $b$ au dernier wagon. On appelle raffinement de T tout couple $(T', f)$ formé d’un train $T'= (W'_j)_{1\leqslant j\leqslant m}$ et d’une application strictement croissante $f:\{0,1, . . . , n\} \rightarrow \{0,1, . . . , m\}$ telle que $f(0) = 0,f(n) =m$ et $W'_j\subset W_i$ pour $1\leqslant i\leqslant n$ et $f(i-1)< j\leqslant f(i)$.

Plus précisément, tout train T joignant $a$ à $b$ possède un raffinement $(T', f)$, où $T'$ est un train de largeur $\leqslant \varepsilon$ joignant $a$ à $b$.

La relation « il existe un train de largeur $\leqslant \varepsilon$ joignant $x$ à $y$ » est une relation d’équivalence entre $x$ et $y$ dans X. La classe d’équivalence d’un point $x$ contient tout voisinage ouvert connexe de $x$ de diamètre $\leqslant \varepsilon$, et $x$ possède un tel voisinage puisque X est localement connexe. Les classes d’équivalence suivant cette relation sont donc ouvertes, et par suite aussi fermées. Il y en a au plus une, puisque X est connexe. Cela démontre la première assertion.

Soit $T = (W_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ un train dans X joignant $a$ à $b$. Posons $x_0=a$, $x_n=b$ et choisissons pour $1\leqslant i\leqslant n-1$ un point $x_i$ dans l’ensemble non vide $W_i\cap W_{i+1}$. Pour $1\leqslant i\leqslant n$, l’ensemble ouvert $W_i$ est connexe et localement connexe et $x_{i-1},x_i$ sont deux de ses points ; il existe d’après l’alinéa précédent un train $(W_{i,k})_{1\leqslant k\leqslant m_i}$ dans $W_i$, de largeur $\leqslant \varepsilon$, joignant $x_{i-1}$ à $x_i$.

Posons $m=m_1+\cdots +m_n$. Pour $1\leqslant j\leqslant m$, posons $W'_j= W_{i,k}$, où $(i, k)$ est l’unique couple d’entiers tel que $1\leqslant i\leqslant n,1\leqslant k\leqslant m_i$ et $j=m_1+\cdots +m_{i-1}+k$. Pour $0\leqslant i\leqslant n$, posons $f(i) =m_1+\cdots +m_i$. Alors $T'= (W'_j)_{1\leqslant j\leqslant m}$ est un train de largeur $\leqslant \varepsilon$ dans X joignant $a$ à $b$, et $(T', f)$ est un raffinement de T.

Démontrons maintenant la proposition 11. Munissons l’espace connexe et localement connexe X d’une distance $d$, compatible avec sa topologie, pour laquelle il est complet. Soient $a$ et $b$ des points de X. Le lemme 1 permet de construire par récurrence des suites $(T_s)_{s\geqslant 0}$ et $(f_s)_{s\geqslant 1}$ telles que, pour tout $s\geqslant 0$, $T_s= (W_{s,i})_{1\leqslant i\leqslant n_s}$ soit un train de largeur $\leqslant 2^{-s}$ joignant $a$ à $b$ et $(T_{s+1}, f_{s+1})$ soit un raffinement de $T_s$.

Nous pouvons choisir par récurrence, pour $s\geqslant 0$, une application strictement croissante $g_s:\{0,1, . . . , n_s\} \rightarrow \mathbf{I}$ telle que $g_s(0) = 0$ et $g_s(n_s) = 1$, de telle sorte que $g_{s+1}\circ f_s=g_s$. Définissons, pour $s\geqslant 0$, une partie $A_s$ de $\mathbf{I}\times X$ en posant

La suite $(A_s)_{s\geqslant 0}$ est décroissante : en effet, pour tout entier $j\in \{1, . . . , n_{s+1}\}$, il existe un unique entier $i\in \{1, . . . , n_s\}$ tel que $f_s(i-1)< j\leqslant f_s(i)$, et l’on a

Soit $t\in \mathbf{I}$. Pour tout $s\geqslant 0$, notons $A_s(t)$ l’ensemble des $x\in X$ tels que $(t, x)\in A_s$. L’ensemble $A_s(t)$ est soit l’un des wagons, soit la réunion de deux wagons consécutifs du train $T_s$; c’est donc une partie non vide de X, de diamètre $\leqslant 2^{1-s}$. La suite $(A_s(t))_{s\geqslant 0}$ est décroissante. L’ensemble de ses termes est une base de filtre de Cauchy. Celle-ci converge vers un point $c(t)$ puisque l’espace métrique X est complet.

Comme $a$ appartient à chacun des ensembles $A_s(0) = W_{s,1}$, on a $c(0) =a$; on a de même $c(1) =b$. Soit $t\in \mathbf{I}$ et soit $s$ un entier $\geqslant 0$. Le point $t$ possède dans $\mathbf{I}$ un voisinage V de l’une des formes suivantes : $[g_s(0), g_s(1)[$, $]g_s(i-1), g_s(i+ 1)[$ pour un entier $i$ tel que $1\leqslant i\leqslant$ $n_s-1$, ou $]g_s(n_s-1), g_s(n_s)]$. Suivant le cas, l’ensemble $c(V)$ est contenu dans l’adhérence du premier wagon, de la réunion de deux wagons consécutifs, ou du dernier wagon du train $T_s$. Il est donc de diamètre $\leqslant 2^{1-s}$, et l’on a $d(c(t), c(t'))\leqslant 2^{1-s}$ pour $t'\in V$. Cela prouve que l’application $c:\mathbf{I}\rightarrow$ X est continue. Ainsi $c$ est un chemin dans X reliant $a$ à $b$, et X est connexe par arcs.

Soit X un tel espace et soit U une partie ouverte et connexe de X. D’après le lemme 2 ci-dessous, il existe une distance sur U compatible avec sa topologie pour laquelle U est complet. Comme U est localement connexe, il résulte de la proposition 11 que U est connexe par arcs.

Nous reprendrons les arguments de la démonstration de la prop. 2 de TG, IX, p. 57. Nous pouvons supposer U distinct de X. Soit V la partie du produit $\mathbf{R}\times X$ formée des points $(t, x)$ tels que $t d(x,X-U) = 1$ ; le sous-espace V de $\mathbf{R}\times X$ est fermé et l’application $(t, x)\mapsto x$ de V dans U est un homéomorphisme (TG, IX, p. 13, prop. 3). Il existe sur $\mathbf{R}\times X$ une distance $d'$ compatible avec sa topologie pour laquelle $\mathbf{R}\times X$ est complet (TG, IX, p. 15, cor. 2 et TG, II, p. 17, prop. 10). L’espace V est complet pour la distance induite par $d'$ (TG, II, p. 16, prop. 8), d’où le lemme.

Il suffit de démontrer la première assertion (III, p. 260, prop. 7). Soit X un espace métrique localement compact et localement connexe. Les ensembles ouverts, connexes et relativement compacts de X constituent une base de la topologie de X. Soit U un tel ensemble ; comme U est un ouvert de son adhérence, laquelle est un espace métrique compact, donc complet, il existe d’après le lemme 2 une distance sur U compatible avec sa topologie pour laquelle U est complet. Il résulte de la prop. 11 de III, p. 264 que U est connexe par arcs, d’où le corollaire.

D’après (TG, IX, p. 18), il suffit de démontrer que, pour tout point $x$ de X et toute suite $(x_n)_{n\geqslant 1}$ de points de X qui tend vers $x$, la suite $(f(x_n))_{n\geqslant 1}$ tend vers $f(x)$. En supprimant éventuellement les premiers termes de la suite $(x_n)_{n\geqslant 1}$, on se ramène au cas où les termes de la suite appartiennent tous à un même voisinage connexe par arcs de $x$ dans X. D’après le lemme ci-dessous, il existe alors un chemin $c:\mathbf{I}\rightarrow X$ tel que $c(0) =x$ et $c(1/n) =x_n$ pour $n\geqslant 1$. Si l’application $f$ est continue par arcs, l’application $f\circ c$ est continue et l’élément $f(x) =f(c(0))$ est limite de la suite $(f(c(1/n)))_{n\geqslant 1}$, c’est-à-dire de la suite $(f(x_n))_{n\geqslant 1}$, d’où le corollaire.

Soit $(W_m)_{m\geqslant 1}$ un système fondamental de voisinages de $x$. Posons $V_0= X$ et pour tout $m\geqslant 1$, soit $V_m$ un voisinage connexe par arcs de $x$ contenu dans $V_{m-1}\cap W_m$.

Pour tout entier $n\geqslant 1$, notons $m_n$ le plus grand entier $m\leqslant n$ tel que $x_k\in V_m$ pour tout $k\geqslant n$. La suite $(m_n)_{n\geqslant 1}$ est croissante par définition ; elle tend vers l’infini, car la suite $(x_n)_{n\geqslant 1}$ tend vers $x$. Pour tout entier $n\geqslant 1$, soit $c_n:\mathbf{I}\rightarrow V_{m_n}$ un chemin d’origine $x_{n+1}$ et de terme $x_n$ dans $V_{m_n}$. Définissons une application $c:\mathbf{I}\rightarrow X$ en posant $c(0) =x$ et $c(t) =c_n(n(n+ 1)t-n)$ si $1/(n+ 1)< t\leqslant$ $1/n$. On a $c(1/n) =x_n$ pour tout $n\geqslant 1$. L’application $c$ est donc continue sur tout intervalle de la forme $[1/(n+ 1),1/n]$ avec $n\geqslant 1$, donc sur l’intervalle $]0,1]$. Si $t\leqslant 1/n$, le point $c(t)$ appartient à $V_{m_n}$; l’application $c$ est donc continue en 0.

Soit $b$ un point de B; démontrons que $s$ est continue au point $b$. Comme $p$ est une application étale, il existe un voisinage V de $b$ et une section locale continue $s'$ de $p$ définie dans V telle que $s'(b) =s(b)$ (I, p. 33, prop. 9). Comme B est localement connexe par arcs, on peut supposer que V est connexe par arcs. Pour tout chemin $c$ dans V, d’origine $b$, les applications $s\circ c$ et $s'\circ c$ sont deux relèvements continus à B de l’application $c:\mathbf{I}\rightarrow X$ et l’on a $s\circ c(0) =s'\circ c(0) =s(b)$. D’après le corollaire 1 de I, p. 34, on a $s\circ c=s'\circ c$ et en particulier $s\circ c(1) =s'\circ c(1)$. Comme tout point de V est terme d’un chemin dans V d’origine $b$, les applications $s$ et $s'$ coïncident dans V. L’application $s$ est donc continue dans V.

L’application pr$_1: E'\times_BE\rightarrow E'$ est étale et séparée (I, p. 31, prop. 8 et I, p. 27, prop. 4) et l’application $x\mapsto (x, f(x))$ en est une section continue par arcs. D’après la proposition 13, elle est continue, donc $f$ est continue.

Soit X un tel espace topologique. Munissons-le d’une distance compatible avec sa topologie. Comme l’espace X est compact, il est complet pour cette distance (TG, II, p. 27, th. 1).

Tout point de X admet un voisinage ouvert et fermé de diamètre $\leqslant \varepsilon$ (TG, II, p. 32, corollaire de la prop. 6). Comme l’espace X est compact, il possède un recouvrement fini par de tels ensembles. Choisissons-en un, $(U_i)_{1\leqslant i\leqslant m}$, pour lequel $m$ est minimal. On a $m\geqslant 1$ puisque X n’est pas vide. Pour $1\leqslant i\leqslant m$, notons $V_i$ l’intersection de $U_i$ et des $X-U_k$ pour $k < i$. Alors $(V_i)_{1\leqslant i\leqslant m}$ est une partition de X, formée de $m$ ensembles ouverts et fermés non vides de diamètre $\leqslant \varepsilon$.

Puisque X n’a pas de point isolé, toute partie V ouverte et fermée, non vide, de X contient au moins deux points. Comme en outre X est compact et totalement discontinu, V est réunion de deux parties ouvertes et fermées non vides disjointes (loc. cit.). Il en résulte, par récurrence, que pour tout entier $n\geqslant m$, X admet une partition formée de $n$ ensembles ouverts et fermés non vides de diamètre $\leqslant \varepsilon$.

Terminons maintenant la démonstration de la prop. 14. Tout sous-espace ouvert et fermé non vide de X est un espace métrique compact, totalement discontinu et sans point isolé. Le lemme 3 permet donc de construire par récurrence une suite $(J_n)_{n\geqslant 0}$ d’ensembles finis et pour tout $n\geqslant 0$ une application $\varphi_n$ de l’ensemble $C_n= J_0\times \cdots \times J_n$ dans l’ensemble des parties ouvertes et fermées non vides de X de diamètre $\leqslant 2^{-n}$, de manière que :

(i) Pour tout $n\geqslant 0$, il existe un entier $m_n\geqslant 1$ tel que Card(J$_n$) $=$ $2^{m_n}$;

(ii) La famille $(\varphi_0(c))_{c\in C_0}$ soit une partition de X ;

(iii) Pour tout $n\geqslant 0$ et tout $c\in C_n$, la famille $(\varphi_{n+1}(c, j))_{j\in J_{n+1}}$ soit une partition de $\varphi_n(c)$.

Notons $p_n$ la projection canonique de $C_{n+1}$ sur $C_n$. La suite C = $(C_n, p_n)_{n\geqslant 0}$ est un crible (TG, IX, p. 63, déf. 8). L’espace topologique associé à ce crible (TG, IX, p. 63) s’identifie à l’espace topologique J, produit des espaces topologiques discrets $J_n$. Le crible C et la suite d’applications $(\varphi_n)_{n\geqslant 0}$ définissent un criblage strict de l’espace métrique X (TG, IX, p. 63 et p. 64). L’application $f: J\rightarrow X$ déduite de ce criblage est continue et bijective (TG, IX, p. 65). Comme l’espace topologique J est compact (TG, I, p. 63, th. 3) et que X est séparé, $f$ est un homéomorphisme (TG, I, p. 63, cor. 2). Comme $J_n$ est homéomorphe à $\{0,1\}^{m_n}$ pour tout $n\geqslant 0$, J est homéomorphe à $\{0,1\}^{\mathbf{N}}$ (TG, I, p. 25, prop. 2).