Không gian tôpô $\mathbf{I}$ là compact địa phương, nên mệnh đề suy ra từ TG, X, p. 28, th. 3.

Ta ký hiệu $o$ và gọi là ánh xạ gốc ánh xạ $c\mapsto c(0)$ của Λ(X) vào X; ta ký hiệu $e$ và gọi là ánh xạ số hạng ánh xạ $c\mapsto c(1)$ của Λ(X) vào X. Các ánh xạ $o$ và $e$ là liên tục (TG, X, p. 27, nhận xét 1). Các cặp đường đi ghép trong X là các phần tử của tích bó của các không gian X $(\Lambda (X), e)$ và $(\Lambda (X), o)$.

Ánh xạ $t\mapsto 1-t$ là một phép đồng phôi của không gian $\mathbf{I}$ lên chính nó; mệnh đề đầu tiên suy ra.

Ký hiệu C là tích bó $(\Lambda (X), e)\times_X(\Lambda (X), o)$. Gọi $\gamma : C\rightarrow$ Λ(X) là ánh xạ $(c, d)\mapsto c*d$ và $\delta : C\times \mathbf{I}\rightarrow$ X là ánh xạ $((c, d), t)\mapsto (c*d)(t)$. Các hạn chế của ánh xạ $\delta$ lên $C\times [0,\frac{1}{2}]$ và $C\times [\frac{1}{2},1]$ là liên tục theo công thức (1) và mệnh đề 1. Ánh xạ $\delta$ do đó là liên tục (TG, I, p. 19, mệnh đề 4), cũng như ánh xạ $\gamma$ (mệnh đề 1). Ta có $c(t) = (c*d)(\frac{t}{2})$ và $d(t) = (c*d)(\frac{1+t}{2})$, do đó $\gamma$ là đơn ánh.

Cho $g$ là một đường đi trong X; với $t\in \mathbf{I}$, đặt

$c_g(t) =g(\frac{t}{2})$ và $d_g(t) =g(\frac{1 + t}{2})$.

Các ánh xạ $c_g$ và $d_g$ được định nghĩa như vậy là các đường đi ghép trong X và ta có $c_g*d_g=g$. Hơn nữa, các ánh xạ $g\mapsto c_g$ và $g\mapsto d_g$ là các ánh xạ liên tục của không gian Λ(X) vào chính nó (mệnh đề 1). Suy ra ánh xạ $\gamma$ là một phép đồng phôi.

Cho X là một không gian liên thông đường, $f: X\rightarrow Y$ là một ánh xạ liên tục. Cho $x$ và $y$ là hai điểm của $f(X)$; cho $x'$ và $y'$ là các điểm của X sao cho $f(x') =x$ và $f(y') =y$. Tồn tại một đường $c$ trong X có gốc là $x'$ và số hạng là $y'$. Khi đó, $f\circ c$ là một đường trong $f(X)$ có gốc là $x$ và số hạng là $y$.

Vì mọi khoảng của $\mathbf{R}$ là liên thông, ảnh của một đường là liên thông (TG, I, p. 82, Mệnh đề 4). Không gian rỗng là liên thông. Vì một không gian liên thông đường khác rỗng là hợp của các ảnh của các đường xuất phát từ một điểm của nó, nên nó là liên thông (TG, I, p. 81, Mệnh đề 2).

Xét đến sự đồng nhất (III, p. 256, nhận xét 1) các đường trong X với các đồng luân giữa các ánh xạ từ một không gian tôpô P thu gọn về một điểm vào X, Mệnh đề 1 của III, p. 230 cho:

Các thành phần liên thông đường của một không gian tôpô X được gọi là các lớp tương đương đối với quan hệ trên. Một thành phần liên thông đường là một không gian liên thông đường. Cho $x$ là một điểm của X. Thành phần liên thông đường của $x$ là hợp của các không gian con liên thông đường của X chứa $x$. Nó cũng là hợp của các ảnh của các đường có gốc $x$ trong X.

$(\pi_0$(pr$_j$))$:\pi_0(\prod_{j\in J}Y_j)\rightarrow \prod_{j\in J}\pi_0(Y_j)$

là song ánh. Đặc biệt, không gian tích của một họ các không gian liên thông đường đi là liên thông đường đi.

Điều này suy ra từ Mệnh đề 3 của III, p. 231, trong đó lấy X là một không gian thu gọn về một điểm.

Mệnh đề thứ nhất suy ra từ mệnh đề 4. Ta hãy chứng minh mệnh đề thứ hai. Cho X là một không gian tôpô liên thông đường đi địa phương và C là một thành phần liên thông đường đi của X. Mỗi điểm của C có một lân cận liên thông đường đi, do đó được chứa trong C; do đó, C là một tập con mở của X. Các thành phần liên thông đường đi lập thành một phân hoạch của X, nên thành phần như vậy cũng là đóng. Vì nó liên thông (III, p. 258, mệnh đề 4), nó là một thành phần liên thông (TG, I, p. 83). Mệnh đề thứ ba suy ra từ mệnh đề thứ hai.

Do đó ta thấy rằng không có sự mơ hồ khi nói rằng một không gian tôpô là liên thông và liên thông đường đi địa phương.

Mệnh đề thứ nhất suy ra ngay lập tức từ định nghĩa 4 và định nghĩa của một ánh xạ étalé (I, p. 28, định nghĩa 2). Mệnh đề thứ hai suy ra từ đó theo mệnh đề 7.

Để một không gian tôpô X là liên thông đường đi địa phương, điều kiện cần và đủ là mọi thành phần liên thông đường đi của một tập mở của X đều là một tập mở của X (xem I, p. 85, chứng minh mệnh đề 11). Nếu không gian X là liên thông đường đi địa phương, do đó mỗi điểm của X có một hệ lân cận cơ bản gồm các lân cận mở liên thông đường đi.

Cho X là một không gian liên thông đường đi địa phương, cho R là một quan hệ tương đương trong X và cho $\varphi : X\rightarrow X/R$ là ánh xạ chính tắc. Chỉ cần chứng minh rằng các thành phần liên thông đường đi của một tập con mở của $X/R$ là mở. Vậy cho A là một tập con mở của $X/R$ và cho C là một thành phần liên thông đường đi của A. Cho $x\in \overset{-1}{\varphi}(C)$, và cho K là thành phần liên thông đường đi của x trong $\overset{-1}{\varphi}(A)$. Tập hợp $\varphi (K)$ là liên thông đường đi (III, p. 258, mệnh đề 3), được chứa trong A và chứa $\varphi (x)$; do đó $\varphi (K)\subset C$, suy ra $K\subset \overset{-1}{\varphi}(C)$. Điều này chứng minh rằng $\overset{-1}{\varphi}(C)$ là hợp của các thành phần liên thông đường đi của $\overset{-1}{\varphi}(A)$. Vì X liên thông đường đi địa phương và $\overset{-1}{\varphi}(A)$ là mở trong X$, \overset{-1}{\varphi}(C)$ là mở trong X. Do đó, C là mở trong $X/R$. Điều này chứng minh mệnh đề.

Cho $(X_j)_{j\in J}$ là một họ các không gian liên thông đường đi địa phương và liên thông, ngoại trừ một số hữu hạn không gian. Cho $x=$ $(x_j)_{j\in J}$ là một điểm của không gian tích X = $\prod_{j\in J}X_j$. Theo giả thiết, một hệ lân cận cơ bản của $x$ trong X gồm các tập hợp có dạng $V =\prod_{j\in J}V_j$ trong đó, với mọi $j\in J$, $V_j$ là một lân cận liên thông đường đi của $x_j$ trong $X_j$ và $V_j= X_j$ ngoại trừ một tập hữu hạn các chỉ số $j\in J$ (TG, I, p. 24). Vì các tập hợp này liên thông đường đi (III, p. 260, mệnh đề 6), X là liên thông đường đi địa phương.

Mỗi điểm của $\mathbf{R}$ có một cơ sở lân cận tạo bởi các khoảng; do đó, $\mathbf{R}$ là liên thông đường đi địa phương. Theo Mệnh đề 9, không gian số $\mathbf{R}^n$ là liên thông đường đi địa phương, với mọi số nguyên $n\geqslant 1$. Hơn nữa, một tập con mở của một không gian tôpô liên thông đường đi địa phương lại là liên thông đường đi, do đó có hệ quả.

Ta đã biết các ánh xạ gốc $o$ và số hạng $e$ của Λ(X) vào X là liên tục (III, p. 257), do đó mệnh đề đầu tiên.

$c'(t)\in V_0$ với $0\leqslant t\leqslant \varepsilon$,

(2) $c'(t) =c(t)$ với $\varepsilon \leqslant t\leqslant 1-\varepsilon$,

$c'(t)\in V_1$ với $1-\varepsilon \leqslant t\leqslant 1$,

đều thuộc W.

Theo định nghĩa của tôpô hội tụ compact (TG, X, p. 26, déf. 1), tồn tại một tập hữu hạn J, một họ $(U_j)_{j\in J}$ các tập mở trong X và một họ $(K_j)_{j\in J}$ các tập con compact của $\mathbf{I}$ sao cho tập $W'$ gồm các đường đi $c'$ thỏa mãn $c'(K_j)\subset U_j$ với mọi chỉ số $j$ là một lân cận của $c$ được chứa trong W. Khi đó, ký hiệu $A_0$ (resp. $A_1$) là tập các chỉ số $j$ sao cho $0\in K_j$ (resp. $1\in K_j$); đặt $V_0=\bigcap_{j\in A_0}U_j$ và $V_1=\bigcap_{j\in A_1}U_j$.

Vì ánh xạ $c$ liên tục, tồn tại một số thực $\varepsilon \in$ $]0,1/2]$ sao cho $c([0, \varepsilon ])\subset V_0,c([1-\varepsilon ,1])\subset V_1,[0, \varepsilon ]\cap K_j=\emptyset$ với mọi $j\notin A_0$ và $[1-\varepsilon ,1]\cap K_j=\emptyset$ với mọi $j\notin A_1$. Khi đó, cho $c'$ là một đường đi thỏa mãn các điều kiện (2). Hãy chứng minh rằng $c'\in W'$. Cho $j\in J$ và cho $t\in K_j$. Nếu $\varepsilon \leqslant t\leqslant 1-\varepsilon ,c'(t) =c(t)$ thuộc $U_j$. Nếu $0\leqslant t\leqslant \varepsilon ,c'(t)\in V_0$; do lựa chọn $\varepsilon$, ta có $j\in A_0$, do đó $c'(t)\in U_j$. Tương tự, nếu $1-\varepsilon \leqslant t\leqslant 1$, ta có $j\in A_1$ và $c'(t)\in V_1\subset U_j$. Vậy, $c'(K_j)\subset U_j$ và $c'$ thuộc $W'$, do đó thuộc W.

Bây giờ hãy chứng minh mệnh đề thứ hai của Mệnh đề 10. Giả sử rằng không gian X liên thông địa phương bởi các cung. Cho $c$ là một đường đi trong X và cho W là một lân cận của $c$ trong $\mathscr{C}_c(\mathbf{I}; X)$. Cho $\varepsilon ,V_0$ và $V_1$ như trong bổ đề. Cho $T_0$ và $T_1$ là các lân cận liên thông bởi các cung của $c(0)$ và $c(1)$ được chứa trong $V_0$ và $V_1$ tương ứng. Có một số thực $\theta$ sao cho $0< \theta < \varepsilon$ và sao cho $c([0, \theta ])\subset T_0,c([1-\theta ,1])\subset T_1$. Cho $x_0\in T_0$ và $x_1\in T_1$; cho $c_0$ là một đường đi có điểm đầu $x_0$ và điểm cuối $c(\theta )$ trong $T_0$ và cho $c_1$ là một đường đi có điểm đầu $x_1$ và điểm cuối $c(1-\theta )$ trong $T_1$. Đặt

$c_0(t/\theta )$ cho $0\leqslant t\leqslant \theta$,

$c'(t) =c(t)$ cho $\theta \leqslant t\leqslant 1-\theta$,

$c_1((1-t)/\theta )$ cho $1-\theta \leqslant t\leqslant 1$.

Như vậy ta xác định được một đường đi $c'$ nối $x_0$ với $x_1$ và thỏa mãn các điều kiện (2). Điều này chứng minh rằng ảnh của W trong $X\times X$ bởi ánh xạ $(o, e)$ chứa lân cận $T_0\times T_1$ của $(c(0), c(1))$, do đó có mệnh đề.

Theo mệnh đề, ánh xạ $\varphi : \Lambda (X)\rightarrow X\times X$ được xác định bởi $\varphi (c) = (c(0), c(1))$ là mở và ta có $\Lambda_x(X) =\overset{-1}{\varphi}(\{x\} \times X)$. Do đó, ánh xạ $\Lambda_x(X)\rightarrow \{x\} \times X$ suy ra từ $\varphi$ là mở (TG, I, p. 30, mệnh đề 2), cũng như hợp của nó với phép chiếu thứ hai pr$_2$.

Cho X là một không gian tôpô. Gọi một đoàn tàu trong X là một dãy hữu hạn khác rỗng $T = (W_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ gồm các tập con mở liên thông của X sao cho $W_i\cap W_{i+1}=\not\emptyset$ với $1\leqslant i\leqslant n-1$. Ta nói rằng $n$ là độ dài của đoàn tàu T và các $W_i$ là các toa của nó. Nếu X được trang bị một khoảng cách tương thích với tôpô của nó, ta gọi bề rộng của đoàn tàu T là số lớn nhất của các đường kính của các toa của nó. Ta nói rằng đoàn tàu nối một điểm $a$ với một điểm $b$ nếu $a$ thuộc toa đầu tiên và $b$ thuộc toa cuối cùng. Ta gọi một sự làm mịn của T là một cặp $(T', f)$ tạo bởi một đoàn tàu $T'= (W'_j)_{1\leqslant j\leqslant m}$ và một ánh xạ tăng ngặt $f:\{0,1, . . . , n\} \rightarrow \{0,1, . . . , m\}$ sao cho $f(0) = 0,f(n) =m$ và $W'_j\subset W_i$ với $1\leqslant i\leqslant n$ và $f(i-1)< j\leqslant f(i)$.

Chính xác hơn, mọi đoàn tàu T nối $a$ với $b$ đều có một sự làm mịn $(T', f)$, trong đó $T'$ là một đoàn tàu có bề rộng $\leqslant \varepsilon$ nối $a$ với $b$.

Quan hệ “tồn tại một đoàn tàu có bề rộng $\leqslant \varepsilon$ nối $x$ với $y$” là một quan hệ tương đương giữa $x$ và $y$ trong X. Lớp tương đương của một điểm $x$ chứa mọi lân cận mở liên thông của $x$ có đường kính $\leqslant \varepsilon$, và $x$ có một lân cận như vậy vì X là liên thông địa phương. Do đó các lớp tương đương của quan hệ này là mở, và do đó cũng đóng. Có nhiều nhất một lớp như vậy, vì X là liên thông. Điều này chứng minh mệnh đề đầu tiên.

Cho $T = (W_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ là một chuỗi trong X nối $a$ với $b$. Đặt $x_0=a$, $x_n=b$ và chọn đối với $1\leqslant i\leqslant n-1$ một điểm $x_i$ trong tập hợp khác rỗng $W_i\cap W_{i+1}$. Với $1\leqslant i\leqslant n$, tập hợp mở $W_i$ là liên thông và liên thông địa phương và $x_{i-1},x_i$ là hai điểm của nó; tồn tại theo đoạn trước một chuỗi $(W_{i,k})_{1\leqslant k\leqslant m_i}$ trong $W_i$, có bề rộng $\leqslant \varepsilon$, nối $x_{i-1}$ với $x_i$.

Đặt $m=m_1+\cdots +m_n$. Với $1\leqslant j\leqslant m$, đặt $W'_j= W_{i,k}$, trong đó $(i, k)$ là cặp duy nhất các số nguyên sao cho $1\leqslant i\leqslant n,1\leqslant k\leqslant m_i$ và $j=m_1+\cdots +m_{i-1}+k$. Với $0\leqslant i\leqslant n$, đặt $f(i) =m_1+\cdots +m_i$. Khi đó $T'= (W'_j)_{1\leqslant j\leqslant m}$ là một chuỗi có bề rộng $\leqslant \varepsilon$ trong X nối $a$ với $b$, và $(T', f)$ là một tinh luyện của T.

Bây giờ chứng minh Mệnh đề 11. Trang bị cho không gian X liên thông và liên thông địa phương một khoảng cách $d$, tương thích với tôpô của nó, mà đối với khoảng cách đó nó là đầy đủ. Cho $a$ và $b$ là các điểm của X. Bổ đề 1 cho phép ta xây dựng bằng quy nạp các dãy $(T_s)_{s\geqslant 0}$ và $(f_s)_{s\geqslant 1}$ sao cho, với mọi $s\geqslant 0$, $T_s= (W_{s,i})_{1\leqslant i\leqslant n_s}$ là một chuỗi có bề rộng $\leqslant 2^{-s}$ nối $a$ với $b$ và $(T_{s+1}, f_{s+1})$ là một tinh luyện của $T_s$.

Ta có thể chọn bằng quy nạp, với $s\geqslant 0$, một ánh xạ tăng ngặt $g_s:\{0,1, . . . , n_s\} \rightarrow \mathbf{I}$ sao cho $g_s(0) = 0$ và $g_s(n_s) = 1$, theo cách mà $g_{s+1}\circ f_s=g_s$. Định nghĩa, với $s\geqslant 0$, một tập con $A_s$ của $\mathbf{I}\times X$ bằng cách đặt

Dãy $(A_s)_{s\geqslant 0}$ là giảm: thật vậy, với mọi số nguyên $j\in \{1, . . . , n_{s+1}\}$, tồn tại một số nguyên duy nhất $i\in \{1, . . . , n_s\}$ sao cho $f_s(i-1)< j\leqslant f_s(i)$, và ta có

Cho $t\in \mathbf{I}$. Với mọi $s\geqslant 0$, ký hiệu $A_s(t)$ là tập hợp các $x\in X$ sao cho $(t, x)\in A_s$. Tập hợp $A_s(t)$ hoặc là một trong các toa, hoặc là hợp của hai toa liên tiếp của đoàn tàu $T_s$; do đó nó là một tập con khác rỗng của X, có đường kính $\leqslant 2^{1-s}$. Dãy $(A_s(t))_{s\geqslant 0}$ là giảm. Tập hợp các số hạng của nó là một cơ sở lọc Cauchy. Cơ sở này hội tụ đến một điểm $c(t)$ vì không gian metric X là đầy đủ.

Vì $a$ thuộc mỗi tập hợp $A_s(0) = W_{s,1}$, ta có $c(0) =a$; tương tự $c(1) =b$. Cho $t\in \mathbf{I}$ và cho $s$ là một số nguyên $\geqslant 0$. Điểm $t$ có trong $\mathbf{I}$ một lân cận V có một trong các dạng sau: $[g_s(0), g_s(1)[$, $]g_s(i-1), g_s(i+ 1)[$ với một số nguyên $i$ sao cho $1\leqslant i\leqslant$ $n_s-1$, hoặc $]g_s(n_s-1), g_s(n_s)]$. Tùy theo trường hợp, tập hợp $c(V)$ được chứa trong bao đóng của toa thứ nhất, của hợp hai toa liên tiếp, hoặc của toa cuối cùng của đoàn tàu $T_s$. Do đó nó có đường kính $\leqslant 2^{1-s}$, và ta có $d(c(t), c(t'))\leqslant 2^{1-s}$ với $t'\in V$. Điều này chứng minh rằng ánh xạ $c:\mathbf{I}\rightarrow$ X là liên tục. Vậy $c$ là một đường trong X nối $a$ với $b$, và X là liên thông theo cung.

Cho X là một không gian như vậy và cho U là một tập con mở và liên thông của X. Theo Bổ đề 2 dưới đây, tồn tại một khoảng cách trên U tương thích với tôpô của nó sao cho U là đầy đủ. Vì U liên thông địa phương, suy ra từ Mệnh đề 11 rằng U liên thông theo cung.

Ta sẽ lấy lại các lập luận của chứng minh mệnh đề 2 của TG, IX, p. 57. Ta có thể giả sử U phân biệt với X. Cho V là tập con của tích $\mathbf{R}\times X$ tạo bởi các điểm $(t, x)$ sao cho $t d(x,X-U) = 1$ ; không gian con V của $\mathbf{R}\times X$ là đóng và ánh xạ $(t, x)\mapsto x$ từ V vào U là một phép đồng phôi (TG, IX, p. 13, mệnh đề 3). Trên $\mathbf{R}\times X$ tồn tại một khoảng cách $d'$ tương thích với tôpô của nó sao cho $\mathbf{R}\times X$ là đầy đủ (TG, IX, p. 15, hệ quả 2 và TG, II, p. 17, mệnh đề 10). Không gian V là đầy đủ đối với khoảng cách cảm sinh bởi $d'$ (TG, II, p. 16, mệnh đề 8), do đó có bổ đề.

Chỉ cần chứng minh mệnh đề đầu tiên (III, p. 260, mệnh đề 7). Cho X là một không gian metric compact địa phương và liên thông địa phương. Các tập con mở, liên thông và tương đối compact của X tạo thành một cơ sở của tôpô của X. Cho U là một tập như vậy; vì U là một tập con mở của bao đóng của nó, là một không gian metric compact, do đó đầy đủ, nên theo Bổ đề 2 tồn tại một khoảng cách trên U tương thích với tôpô của nó sao cho U là đầy đủ. Suy ra từ mệnh đề 11 của III, p. 264 rằng U là liên thông theo cung, do đó có hệ quả.

Theo (TG, IX, p. 18), chỉ cần chứng minh rằng, với mọi điểm $x$ của X và mọi dãy $(x_n)_{n\geqslant 1}$ các điểm của X hội tụ tới $x$, dãy $(f(x_n))_{n\geqslant 1}$ hội tụ tới $f(x)$. Bằng cách loại bỏ, nếu cần thiết, các số hạng đầu tiên của dãy $(x_n)_{n\geqslant 1}$, ta rút gọn về trường hợp tất cả các số hạng của dãy thuộc cùng một lân cận liên thông theo cung của $x$ trong X. Theo bổ đề dưới đây, khi đó tồn tại một đường đi $c:\mathbf{I}\rightarrow X$ sao cho $c(0) =x$ và $c(1/n) =x_n$ với $n\geqslant 1$. Nếu ánh xạ $f$ liên tục theo cung, ánh xạ $f\circ c$ liên tục và phần tử $f(x) =f(c(0))$ là giới hạn của dãy $(f(c(1/n)))_{n\geqslant 1}$, nghĩa là của dãy $(f(x_n))_{n\geqslant 1}$, do đó có hệ quả.

Cho $(W_m)_{m\geqslant 1}$ là một hệ cơ bản các lân cận của $x$. Đặt $V_0= X$ và với mọi $m\geqslant 1$, cho $V_m$ là một lân cận liên thông theo cung của $x$ được chứa trong $V_{m-1}\cap W_m$.

Với mọi số nguyên $n\geqslant 1$, ký hiệu $m_n$ là số nguyên lớn nhất $m\leqslant n$ sao cho $x_k\in V_m$ với mọi $k\geqslant n$. Dãy $(m_n)_{n\geqslant 1}$ là tăng theo định nghĩa; nó tiến tới vô hạn, vì dãy $(x_n)_{n\geqslant 1}$ hội tụ tới $x$. Với mọi số nguyên $n\geqslant 1$, cho $c_n:\mathbf{I}\rightarrow V_{m_n}$ là một đường đi có điểm đầu $x_{n+1}$ và điểm cuối $x_n$ trong $V_{m_n}$. Định nghĩa một ánh xạ $c:\mathbf{I}\rightarrow X$ bằng cách đặt $c(0) =x$ và $c(t) =c_n(n(n+ 1)t-n)$ nếu $1/(n+ 1)< t\leqslant$ $1/n$. Ta có $c(1/n) =x_n$ với mọi $n\geqslant 1$. Do đó ánh xạ $c$ liên tục trên mọi khoảng có dạng $[1/(n+ 1),1/n]$ với $n\geqslant 1$, và do đó trên khoảng $]0,1]$. Nếu $t\leqslant 1/n$, điểm $c(t)$ thuộc $V_{m_n}$; do đó ánh xạ $c$ liên tục tại 0.

Cho $b$ là một điểm của B; ta hãy chứng minh rằng $s$ liên tục tại điểm $b$. Vì $p$ là một ánh xạ étale, tồn tại một lân cận V của $b$ và một tiết diện địa phương liên tục $s'$ của $p$ xác định trong V sao cho $s'(b) =s(b)$ (I, p. 33, prop. 9). Vì B địa phương liên thông theo đường, ta có thể giả sử rằng V liên thông theo đường. Với mọi đường đi $c$ trong V, có gốc $b$, các ánh xạ $s\circ c$ và $s'\circ c$ là hai phép nâng liên tục lên B của ánh xạ $c:\mathbf{I}\rightarrow X$ và ta có $s\circ c(0) =s'\circ c(0) =s(b)$. Theo Hệ quả 1 của I, p. 34, ta có $s\circ c=s'\circ c$ và đặc biệt $s\circ c(1) =s'\circ c(1)$. Vì mọi điểm của V là điểm cuối của một đường đi trong V có gốc $b$, các ánh xạ $s$ và $s'$ trùng nhau trong V. Do đó ánh xạ $s$ liên tục trong V.

Ánh xạ pr$_1: E'\times_BE\rightarrow E'$ là étale và tách được (I, p. 31, prop. 8 và I, p. 27, prop. 4) và ánh xạ $x\mapsto (x, f(x))$ là một tiết diện liên tục theo đường của nó. Theo Mệnh đề 13, nó liên tục, do đó $f$ liên tục.

Cho X là một không gian tôpô như vậy. Ta trang bị cho nó một khoảng cách tương thích với tôpô của nó. Vì không gian X là compact, nó đầy đủ đối với khoảng cách này (TG, II, p. 27, th. 1).

Mọi điểm của X thừa nhận một lân cận mở và đóng có đường kính $\leqslant \varepsilon$ (TG, II, p. 32, hệ quả của prop. 6). Vì không gian X là compact, nó có một phủ hữu hạn bởi các tập hợp như vậy. Chọn một phủ, $(U_i)_{1\leqslant i\leqslant m}$, mà ở đó $m$ là cực tiểu. Ta có $m\geqslant 1$ vì X khác rỗng. Với $1\leqslant i\leqslant m$, ký hiệu $V_i$ là giao của $U_i$ và các $X-U_k$ với $k < i$. Khi đó $(V_i)_{1\leqslant i\leqslant m}$ là một phân hoạch của X, gồm $m$ tập hợp mở và đóng khác rỗng có đường kính $\leqslant \varepsilon$.

Vì X không có điểm cô lập, mọi tập con mở và đóng khác rỗng V của X chứa ít nhất hai điểm. Hơn nữa vì X compact và hoàn toàn không liên thông, V là hợp của hai tập con mở và đóng khác rỗng rời nhau (loc. cit.). Suy ra, bằng quy nạp, rằng với mọi số nguyên $n\geqslant m$, X thừa nhận một phân hoạch gồm $n$ tập hợp mở và đóng khác rỗng có đường kính $\leqslant \varepsilon$.

Bây giờ ta hoàn tất chứng minh của mệnh đề 14. Mọi không gian con mở và đóng khác rỗng của X là một không gian mêtric compact, hoàn toàn không liên thông và không có điểm cô lập. Do đó Bổ đề 3 cho phép ta xây dựng bằng quy nạp một dãy $(J_n)_{n\geqslant 0}$ các tập hợp hữu hạn và, với mọi $n\geqslant 0$, một ánh xạ $\varphi_n$ từ tập hợp $C_n= J_0\times \cdots \times J_n$ vào tập hợp các tập con mở và đóng khác rỗng của X có đường kính $\leqslant 2^{-n}$, sao cho :

(i) Với mọi $n\geqslant 0$, tồn tại một số nguyên $m_n\geqslant 1$ sao cho Card(J$_n$) $=$ $2^{m_n}$;

(ii) Họ $(\varphi_0(c))_{c\in C_0}$ là một phân hoạch của X ;

(iii) Với mọi $n\geqslant 0$ và mọi $c\in C_n$, họ $(\varphi_{n+1}(c, j))_{j\in J_{n+1}}$ là một phân hoạch của $\varphi_n(c)$.

Ta ký hiệu $p_n$ là phép chiếu chính tắc của $C_{n+1}$ lên $C_n$. Dãy C = $(C_n, p_n)_{n\geqslant 0}$ là một sàng (TG, IX, p. 63, định nghĩa 8). Không gian tôpô liên kết với sàng này (TG, IX, p. 63) được đồng nhất với không gian tôpô J, tích của các không gian tôpô rời rạc $J_n$. Sàng C và dãy các ánh xạ $(\varphi_n)_{n\geqslant 0}$ định nghĩa một phép sàng ngặt của không gian mêtric X (TG, IX, p. 63 và p. 64). Ánh xạ $f: J\rightarrow X$ suy ra từ phép sàng này là liên tục và song ánh (TG, IX, p. 65). Vì không gian tôpô J là compact (TG, I, p. 63, định lý 3) và X là tách, $f$ là một phép đồng phôi (TG, I, p. 63, hệ quả 2). Vì $J_n$ đồng phôi với $\{0,1\}^{m_n}$ với mọi $n\geqslant 0$, J đồng phôi với $\{0,1\}^{\mathbf{N}}$ (TG, I, p. 25, mệnh đề 2).