Cho $c_1\in \Lambda_{x,y}(X),c_2\in \Lambda_{y,z}(X),c_3\in \Lambda_{z,u}(X)$ lần lượt là các đại diện của $\gamma_1,\gamma_2$ và $\gamma_3$. Cho $\varphi :\mathbf{I}\rightarrow \mathbf{I}$ là hàm được xác định bởi

$t/2$ với $0\leqslant t\leqslant 1/2$,

(4) $\varphi (t) =t-1/4$ với $1/2\leqslant t\leqslant 3/4$,

$2t-1$ với $3/4\leqslant t\leqslant 1$.

Hàm $\varphi$ là affine trên mỗi khoảng trong ba khoảng $[0,1/2]$, $[1/2,3/4]$ và $[3/4,1]$; do đó nó liên tục. Ta có $\varphi (0) = 0$ và $\varphi (1) = 1$. Theo công thức (1) của III, p. 256, định nghĩa phép ghép các đường, ta có

Theo ví dụ của III, p. 289, các đường $c_1*(c_2*c_3)$ và $(c_1*c_2)*c_3$ đồng luân ngặt, do đó có đẳng thức (3).

Tương tự, hàm $\psi :\mathbf{I}\rightarrow \mathbf{I}$ được xác định bởi

$2t$ với $0\leqslant t\leqslant 1/2$,

1 với $1/2\leqslant t\leqslant 1$

là liên tục và thỏa mãn $\psi (0) = 0,\psi (1) = 1$. Đẳng thức $\gamma_1\varepsilon_y=\gamma_1$ suy ra từ sự kiện rằng

và đẳng thức $\varepsilon_x\gamma_1=\gamma_1$ được chứng minh tương tự, do đó có (1).

Ánh xạ $\sigma :\mathbf{I}\times \mathbf{I}\rightarrow X$ được xác định bởi

$c_1(2ts)$ với $0\leqslant t\leqslant 1/2$,

$c_1(2(1-t)s)$ với $1/2\leqslant t\leqslant 1$

là liên tục; đó là một phép đồng luân ngặt nối đường đi $e_x$ với đường đi $c_1*\overline{c_1}$, do đó có đẳng thức thứ nhất trong (2). Đẳng thức thứ hai suy ra từ đẳng thức thứ nhất và từ sự kiện rằng, với mọi đường đi $c$, ta có $c=\overline{\overline{c}}$.

a) Nếu không gian X liên thông theo cung, các nhóm $\pi_1(X, x)$ và $\pi_1(X, y)$ đẳng cấu với nhau với mọi điểm $x$ và $y$ của X.

b) Cho $x$ là một điểm của X; các điều kiện sau là tương đương:

(i) Nhóm $\pi_1(X, x)$ là tầm thường;

(ii) Hai đường đi có điểm đầu $x$ trong X và có cùng điểm cuối

là đồng luân ngặt với nhau;

(iii) Mọi vòng lặp có điểm đầu $x$ trong X đều đồng luân ngặt với

vòng lặp hằng có ảnh $x$.

Chính xác hơn, cho X là một không gian tôpô liên thông theo cung và $x$ và $y$ là các điểm của X. Với mọi phần tử $\delta$ của $\varpi_{x,y}(X)$, ánh xạ $u_{\delta}:\gamma \mapsto \delta \gamma \delta^{-1}$ của $\pi_1(X, y)$ vào $\pi_1(X, x)$ là một đẳng cấu nhóm mà đẳng cấu nghịch đảo là $u_{\delta^{-1}}$. Với $\delta \in \varpi_{x,y}(X)$ và $\gamma \in \pi_1(X, y)$, ta đặt $^{\delta}\gamma =u_{\delta}(\gamma )$. Khi $x=y$, ta có $^{\delta}\gamma =$ Int($\delta$ )$(\gamma )$, tức là $u_{\delta}=$ Int($\delta$ ).

Cho $x,y,z$ là các điểm của X. Với $\delta \in \varpi_{x,y}(X)$ và $\eta \in \varpi_{y,z}(X)$, ta có $u_{\delta \eta}=u_{\delta}\circ u_{\eta}$, điều này cũng có thể viết là $^{\delta \eta}\gamma =^{\delta}(^{\eta}\gamma )$ với $\gamma \in \pi_1(X, z)$.

Cho $x,y$ là các điểm của X và $\delta ,\delta '$ là các phần tử của $\varpi_{x,y}(X)$. Ta có

(7) $u_{\delta'}=u_{\delta}\circ$ Int($\delta^{-1}\delta '$) $=$ Int($\delta '\delta^{-1}$)$\circ u_{\delta}$.

Cho $c$ là một đường kín trong X tại $x$ và $\gamma$ là lớp đồng luân ngặt của nó. Đặt $\gamma_0= (f_0)_*(\gamma )$ và $\gamma_1= (f_1)_*(\gamma )$; đây là các lớp đồng luân ngặt của $f_0\circ c$ và $f_1\circ c$. Với $(t, s)\in \mathbf{I}\times \mathbf{I}$, đặt $\varphi (t, s) =\sigma (c(t), s)$. Với mọi $t\in \mathbf{I}$, ta có $\varphi (t,0) = (f_0\circ c)(t),\varphi (t,1) = (f_1\circ c)(t)$ và $\varphi (0, t) =\varphi (1, t) =d(t)$. Quan hệ $\gamma_0\delta =\delta \gamma_1$ do đó suy ra từ bổ đề sau.

Gọi $c$ là đường đi trong $\mathbf{I}\times \mathbf{I}$ nhận được bằng cách ghép nối các đường đi $t\mapsto (t,0)$ và $t\mapsto (1, t)$; gọi $d$ là đường đi trong $\mathbf{I}\times \mathbf{I}$ nhận được bằng cách ghép nối các đường đi $t\mapsto (0, t)$ và $t\mapsto (t,1)$. Các đường đi $c$ và $d$ có cùng điểm đầu $(0,0)$ và cùng điểm cuối $(1,1)$. Ánh xạ $(t, s)\mapsto$ $(1-s)c(t)+sd(t)$ từ $\mathbf{I}\times \mathbf{I}$ vào $\mathbf{I}\times \mathbf{I}$ là một đồng luân ngặt nối $c$ với $d$. Ta có $c_0*d_1=\varphi \circ c$ và $d_0*c_1=\varphi \circ d$; do đó hai đường đi này đồng luân ngặt.

Gọi $\sigma$ là một đồng luân có điểm tại $x$ nối $f_0$ với $f_1$. Với ký hiệu của Mệnh đề $3,\delta$ là lớp của một đường đi hằng có ảnh $f_0(x) =$ $f_1(x)$. Mệnh đề được suy ra.

Cho $g$ là một ánh xạ liên tục từ Y vào X, nghịch đảo của $f$ theo nghĩa đồng luân. Cho $x$ là một điểm của X. Theo Mệnh đề 3 áp dụng cho các ánh xạ đồng luân Id$_X$ và $g\circ f: X\rightarrow X$, suy ra ánh xạ $\pi_1(g\circ f, x)$ là một đẳng cấu của nhóm $\pi_1(X, x)$ lên nhóm $\pi_1(X, g\circ f(x))$. Vì

đồng cấu $\pi_1(f, x)$ là đơn ánh và đồng cấu $\pi_1(g, f(x))$ là toàn ánh. Vì ánh xạ $g$ cũng là một tương đương đồng luân, đồng cấu $\pi_1(g, f(x))$ là đơn ánh; do đó nó là một đẳng cấu. Suy ra $\pi_1(f, x)$ là một đẳng cấu.

Hệ quả 3 áp dụng đặc biệt khi X là không gian số $n$ chiều $\mathbf{R}^n$ và nói chung hơn khi X là một tập con của không gian $\mathbf{R}^n$ có dạng sao (III, p. 234) đối với một trong các điểm của nó.

Cho $\varphi$ ký hiệu cấu xạ này của các groupoid. Ánh xạ suy ra từ nó bằng cách chuyển qua các đỉnh là ánh xạ đồng nhất $X\rightarrow \prod_jX_j$. Cho $x= (x_j)$ và $y= (y_j)$ là hai điểm của X. Cho $\varphi_{x,y}$ ký hiệu ánh xạ của $\varpi_{x,y}(X)$ vào $\prod_j\varpi_{x_j,y_j}(X_j)$ suy ra từ $\varphi$. Nếu với mọi $j\in J,c_j:\mathbf{I}\rightarrow$ $X_j$ là một đường đi nối $x_j$ với $y_j$, thì ánh xạ $t\mapsto (c_j(t))$ là một đường đi trong X nối $x$ với $y$ (TG, I, p. 25, prop. 1). Điều này chứng minh rằng $\varphi_{x,y}$ là toàn ánh. Cho $c$ và $d$ là hai đường đi trong X nối $x$ với $y$. Giả sử rằng với mọi $j\in J$ tồn tại một đồng luân ngặt $\sigma_j:\mathbf{I}\times \mathbf{I}\rightarrow X_j$ nối pr$_j\circ c$ với pr$_j\circ d$. Khi đó ánh xạ $(t, s)\mapsto (\sigma_j(t, s))$ của $\mathbf{I}\times \mathbf{I}$ vào X là một đồng luân ngặt nối $c$ với $d($loc. cit.). Điều này chứng minh rằng $\varphi_{x,y}$ là đơn ánh.

Đẳng cấu này được gọi là chính tắc. Trong phần tiếp theo, ta sẽ thường đồng nhất $\pi_1(X, x)$ với $\prod_{j\in J}\pi_1(X_j, x_j)$ nhờ đẳng cấu này.

$\rho :$ lim$\longrightarrow_{i\in I}\varpi (A_i)\rightarrow \varpi (X)$,

cảm sinh bởi các đơn ánh chính tắc của $A_i$ vào X, là một đẳng cấu.

Nếu $i\leqslant j$, ký hiệu $\rho_{j,i}$ là cấu xạ nhómoid $\varpi (A_i)\rightarrow \varpi (A_j)$ cảm sinh bởi đơn ánh của $A_i$ vào $A_j$. Vì ánh xạ cảm sinh bởi $\rho_{j,i}$ khi chuyển qua các đỉnh là đơn ánh $A_i\rightarrow A_j$ và vì các $A_i$ phủ X, ánh xạ cảm sinh bởi $\rho$ khi chuyển qua các đỉnh là song ánh.

Cho $a$ và $b$ là các điểm của X và cho $c$ là một đường đi nối a với b trong X. Ảnh của c là một tập con gần compact của X (TG, I, p. 62, Định lý 2), vì $\mathbf{I}$ là compact. Do đó tồn tại một phần tử $i\in I$ sao cho ảnh của c được chứa trong $A_i$. Do đó, ánh xạ cảm sinh bởi $\rho$ khi chuyển qua các tập hợp mũi tên là toàn ánh.

Cho $i\in I$, cho $a$ và $b$ là các điểm của $A_i$, cho $c,c'$ là các đường đi nối $a$ với $b$ trong $A_i$; cho $h$ là một đồng luân ngặt nối $c$ với $c'$ trong X. Vì $\mathbf{I}\times \mathbf{I}$ là compact, $h(\mathbf{I}\times \mathbf{I})$ là một tập con quasi-compact của X (loc. cit.) và tồn tại một phần tử $i\in I$ sao cho ảnh của $h$ được chứa trong $A_i$. Các đường đi $c$ và $c'$ đồng luân ngặt trong $A_i$; a fortiori, các lớp đường đi $[c]$ và $[c']$ có cùng ảnh trong lim$\longrightarrow \varpi (A_i)$. Do đó, $\rho$ là đơn ánh.

lim$\longrightarrow_{i\in J}\pi_1(A_i, a)\rightarrow \pi_1(X, a)$

là song ánh.