Cho $\sigma : B'\times \mathbf{I}\rightarrow B$ là một phép đồng luân nối $f_0$ với $f_1$. Ta ký hiệu $i_0$ và $i_1$ là các ánh xạ $x\mapsto (x,0)$ và $x\mapsto (x,1)$ từ $B'$ vào $B'\times \mathbf{I}$. Nếu $t\in \{0,1\}$, ta có $f_t=\sigma \circ i_t$ và do đó các phủ $f_t^*(E)$ và $i^*_t(\sigma^*(E))$ của $B'$ đẳng cấu (I, p. 15). Vì không gian tôpô $\mathbf{I}$ liên thông địa phương và đơn liên (I, p. 127, hệ quả), các phủ $i^*_0(\sigma^*(E))$ và $i^*_1(\sigma^*(E))$ của $B'$ đẳng cấu (I, p. 130, hệ quả 1 của mệnh đề 8).

Cho B và $B'$ là các không gian tôpô, cho $f: B\rightarrow B'$ là một tương đương đồng luân và cho $g: B'\rightarrow B$ là một ánh xạ liên tục, nghịch đảo của $f$ theo nghĩa đồng luân. Cho E là một phủ của B. Vì $g\circ f$ đồng luân với ánh xạ đồng nhất của B, nên phủ E đẳng cấu với phủ $f^*(g^*(E))$ (mệnh đề 1). Nếu không gian $B'$ đơn liên, phủ $g^*(E)$ là tầm thường hóa được. Do đó, phủ E là tầm thường hóa được. Điều này chứng minh rằng không gian B là đơn liên.

Điều này suy ra từ hệ quả 3 của mệnh đề 8 của I, p. 130, áp dụng cho không gian tôpô $\mathbf{I}$ đơn liên và liên thông địa phương.

$\mathscr{C}_c(\mathbf{I}; E)^{o_E}$ E

$\widetilde{p}p$

$\mathscr{C}_c(\mathbf{I}; B)^{o_B}$ B là một bình phương Descartes.

Không gian tôpô $\mathbf{I}$ liên thông địa phương, compact địa phương và đơn liên. Mệnh đề do đó suy ra từ mệnh đề 9 của I, p. 131, áp dụng với $T =\mathbf{I}$ và $t= 0$.

Điều này suy ra từ I, p. 71, hệ quả 2 của mệnh đề 1.

Với ký hiệu của mệnh đề 3, ta có $\Lambda_a(B) =o^{-1}_B(a)$ và $\Lambda_x(E) =\overset{-1}{o_{E}}(x)$. Hệ quả khi đó suy ra từ I, p. 10, hệ quả của mệnh đề 4.

Ta sẽ nói rằng một ánh xạ liên tục $p: E\rightarrow B$ thỏa mãn tính chất nâng đường đi nếu, với mọi đường đi $c:\mathbf{I}\rightarrow$ B và mọi điểm $x$ của E nằm trên $c(0)$, tồn tại một đường đi $c'$ trong E có gốc $x$ nâng $c$. Khi đó một đường đi như vậy là duy nhất nếu $p$ étale và tách được (I, p. 34, hệ quả 1 của mệnh đề 11). Cho E là một phủ và $p$ là phép chiếu của nó; ánh xạ $p$ là étale, tách được và có tính chất nâng đường đi (hệ quả 2). Đối với đảo lại từng phần, cf. III, p. 315, hệ quả.

Cho $\sigma :\mathbf{I}\times \mathbf{I}\rightarrow$ B là một đồng luân ngặt nối $c_0$ với $c_1$. Với $s\in \mathbf{I}$, cho $c'_s$ là đường đi duy nhất có gốc $x$ trong E nâng đường đi $t\mapsto \sigma (t, s)$. Với $(t, s)\in \mathbf{I}\times \mathbf{I}$, đặt $\sigma '(t, s) =c'_s(t)$; ta có $p\circ \sigma '=\sigma$. Ánh xạ $\sigma '$ là hằng trên $\{0\} \times \mathbf{I}$; theo cách dựng, nó liên tục trên $\mathbf{I}\times \{s\}$ với mọi $s\in \mathbf{I}$. Do đó nó liên tục, theo I, p. 37, hệ quả 1 của định lý 1. Đặc biệt, ánh xạ từ $\mathbf{I}$ vào $E_b$ xác định bởi $s\mapsto \sigma '(1, s)$ là một nâng liên tục của đường đi hằng có ảnh là $b$; do đó nó là hằng. Điều này chứng minh rằng ánh xạ $\sigma '$ là một đồng luân ngặt nối $c'_0$ với $c'_1$.

Điều kiện này hiển nhiên là đủ. Ngược lại, cho $c'_1$ là một đường cong kín của E tại $x$. Đặt $c_1=p\circ c'_1$ và giả sử rằng các đường cong kín $c$ và $c_1$ đồng luân chặt. Theo Mệnh đề 4, đường đi $c'$ có cùng điểm cuối với đường đi $c'_1$. Do đó nó là một đường cong kín tại $x$.

Cho $c$ là một đường cong kín trong B tại $p_1(x_1) =p_2(x_2)$ và, với $i\in \{1,2\}$, cho $c'_i$ là đường đi có điểm đầu $x_i$ trong $E_i$ nâng $c$. Tích thớ trên B $E = E_1\times_BE_2$ là một phủ của B (I, p. 72, hệ quả 3 của Mệnh đề 2), và đường đi $c':t\mapsto$ $(c'_1(t), c'_2(t))$ là đường đi duy nhất có điểm đầu $x$ trong E nâng $c$. Để $c'$ là một đường cong kín, điều kiện cần và đủ là $c'_1$ và $c'_2$ cũng là các đường cong kín. Hệ quả 3 do đó suy ra từ Hệ quả 2.

a) Quỹ đạo của $x$ đối với phép toán chính tắc của nhóm $\pi_1(B, b)$ là giao của $E_b$ và thành phần liên cung của $x$ trong E. Đặc biệt, nếu không gian E liên cung, phép toán này là bắc cầu.

b) Nhóm ổn định (A, I, p. 51) của $x$ là nhóm con $p_*(\pi_1(E, x))$ của $\pi_1(B, b)$.

c) Với mọi $\gamma \in \pi_1(B, b)$, ta có $p_*(\pi_1(E, x)) =$ Int($\gamma$ )$(p_*(\pi_1(E, x\cdot$ $\gamma )))$.

d) Nếu không gian B liên thông và phép phủ E là Galois, nhóm con $p_*(\pi_1(E, x))$ là chuẩn tắc trong $\pi_1(B, b)$.

Mệnh đề a) là ngay lập tức. Mệnh đề b) suy ra từ Hệ quả 2 của Mệnh đề 4 (III, p. 303). Mệnh đề c) suy ra từ b) và từ Mệnh đề 2 của A, I, p. 52. Cuối cùng, giả sử B liên thông và E là một phép phủ Galois của B. Với mọi $\gamma \in \pi_1(B, b)$, tồn tại một tự đẳng cấu B $g$ của E sao cho $g(x) =x\cdot \gamma ($I, p. 102, th. 2, c)). Ta có $p=p\circ g$, do đó $p_*(\pi_1(E, x)) =p_*(\pi_1(E, x\cdot \gamma ))$. Mệnh đề d) do đó suy ra từ c).

Với mọi $g\in G$, ta có $h_{(E,x\cdot g)}=$ Int($g^{-1}$)$\circ h_{(E,x)}$.

Cho E là một phép phủ chính của B với nhóm G, cho $x$ là một điểm của $E_b$, và ký hiệu $p$ là phép chiếu của E. Với mọi $g\in G$, ánh xạ $y\mapsto y\cdot g$ là một tự đẳng cấu B của E. Do đó, với mọi $g\in G$, mọi $y\in E_b$, và mọi $\gamma \in \pi_1(B, b)$, ta có quan hệ $(y\cdot g)\cdot \gamma = (y\cdot \gamma )\cdot g($cf. III, p. 305, quan hệ (4)). Do đó, với $\gamma , \delta \in \pi_1(B, b)$, ta có

điều này chứng minh rằng $h_{(E,x)}$ là một đồng cấu nhóm.

Hạt nhân của nó là nhóm ổn định của $x$ đối với phép toán chính tắc của $\pi_1(B, b)$, do đó bằng $p_*(\pi_1(E, x))$ theo Định lý 1 của III, p. 305. Ánh xạ $g\mapsto x\cdot g$ là một song ánh từ G lên $E_b$. Ảnh của đồng cấu $h_{(E,x)}$ do đó là tập hợp các $g\in G$ sao cho $x\cdot g$ thuộc quỹ đạo của $x$ đối với phép toán này. Nếu E liên thông, $\pi_1(B, b)$ tác động bắc cầu trên $E_b($loc. cit.) và đồng cấu $h_{(E,x)}$ là toàn ánh.

Cho $g\in G$; với mọi $\gamma \in \pi_1(B, b)$, ta có

do đó $h_{(E,x\cdot g)}(\gamma ) =g^{-1}h_{(E,x)}(\gamma )g$. Điều này hoàn tất chứng minh mệnh đề.