Soit $\sigma : B'\times \mathbf{I}\rightarrow B$ une homotopie reliant $f_0$ à $f_1$. Notons $i_0$ et $i_1$ les applications $x\mapsto (x,0)$ et $x\mapsto (x,1)$ de $B'$ dans $B'\times \mathbf{I}$. Si $t\in \{0,1\}$, on a $f_t=\sigma \circ i_t$ et les revêtements $f_t^*(E)$ et $i^*_t(\sigma^*(E))$ de $B'$ sont donc isomorphes (I, p. 15). Comme l’espace topologique $\mathbf{I}$ est localement connexe et simplement connexe (I, p. 127, corollaire), les revêtements $i^*_0(\sigma^*(E))$ et $i^*_1(\sigma^*(E))$ de $B'$ sont isomorphes (I, p. 130, cor. 1 de la prop. 8).

Soient B et $B'$ des espaces topologiques, soit $f: B\rightarrow B'$ une homéo-topie et soit $g: B'\rightarrow B$ une application continue, réciproque à homotopie près de $f$. Soit E un revêtement de B. Comme $g\circ f$ est homotope à l’application identique de B, le revêtement B est isomorphe au revêtement $f^*(g^*(E))$ (prop. 1). Si l’espace $B'$ est simplement connexe, le revêtement $g^*(E)$ est trivialisable. Par suite, le revêtement E est trivialisable. Cela prouve que l’espace B est simplement connexe.

Cela résulte du corollaire 3 de la prop. 8 de I, p. 130, appliqué à l’espace topologique simplement connexe et localement connexe $\mathbf{I}$.

$\mathscr{C}_c(\mathbf{I}; E)^{o_E}$ E

$\widetilde{p}p$

$\mathscr{C}_c(\mathbf{I}; B)^{o_B}$ B est un carré cartésien.

L’espace topologique $\mathbf{I}$ est localement connexe, localement compact et simplement connexe. La proposition résulte ainsi de la prop. 9 de I, p. 131, appliquée avec $T =\mathbf{I}$ et $t= 0$.

Cela résulte de I, p. 71, cor. 2 de la prop. 1.

Avec les notations de la proposition 3, on a $\Lambda_a(B) =o^{-1}_B(a)$ et $\Lambda_x(E) =\overset{-1}{o_{E}}(x)$. Le corollaire résulte alors de I, p. 10, cor. de la prop. 4.

On dira qu’une application continue $p: E\rightarrow B$ vérifie la propriété de relèvement des chemins si, pour tout chemin $c:\mathbf{I}\rightarrow$ B et tout point $x$ de E relevant $c(0)$, il existe un chemin $c'$ dans E d’origine $x$ qui relève $c$. Un tel chemin est alors unique si $p$ est étale et séparée (I, p. 34, cor. 1 de la prop. 11). Soient E un revêtement et $p$ sa projection ; l’application $p$ est étale, séparée et possède la propriété de relèvement des chemins (corollaire 2). Pour une réciproque partielle, cf. III, p. 315, corollaire.

Soit $\sigma :\mathbf{I}\times \mathbf{I}\rightarrow$ B une homotopie stricte reliant $c_0$ à $c_1$. Pour $s\in \mathbf{I}$, soit $c'_s$ l’unique chemin d’origine $x$ dans E qui relève le chemin $t\mapsto \sigma (t, s)$. Pour $(t, s)\in \mathbf{I}\times \mathbf{I}$, posons $\sigma '(t, s) =c'_s(t)$ ; on a $p\circ \sigma '=\sigma$. L’application $\sigma '$ est constante sur $\{0\} \times \mathbf{I}$; par construction, elle est continue sur $\mathbf{I}\times \{s\}$ pour tout $s\in \mathbf{I}$. Elle est donc continue, d’après I, p. 37, cor. 1 du th. 1. En particulier, l’application de $\mathbf{I}$ dans $E_b$ donnée par $s\mapsto \sigma '(1, s)$ est un relèvement continu du chemin constant d’image $b$; elle est donc constante. Cela prouve que l’application $\sigma '$ est une homotopie stricte reliant $c'_0$ à $c'_1$.

La condition est évidemment suffisante. Inversement, soit $c'_1$ un lacet de E en $x$. Posons $c_1=p\circ c'_1$ et supposons que les lacets $c$ et $c_1$ soient strictement homotopes. D’après la prop. 4, le chemin $c'$ a même terme que le chemin $c'_1$. C’est donc un lacet en $x$.

Soit $c$ un lacet de B en $p_1(x_1) =p_2(x_2)$ et, pour $i\in \{1,2\}$, soit $c'_i$ le chemin d’origine $x_i$ dans $E_i$ relevant $c$. Le B-espace $E = E_1\times_BE_2$ est un revêtement de B (I, p. 72, cor. 3 de la prop. 2) et le chemin $c':t\mapsto$ $(c'_1(t), c'_2(t))$ est l’unique chemin d’origine $x$ dans E qui relève $c$. Pour que $c'$ soit un lacet, il faut et il suffit que $c'_1$ et $c'_2$ le soient. Le corollaire 3 résulte ainsi du corollaire 2.

a) L’orbite de $x$ pour l’opération canonique du groupe $\pi_1(B, b)$ est l’intersection de $E_b$ et de la composante connexe par arcs de $x$ dans E. En particulier, si l’espace E est connexe par arcs, cette opération est transitive.

b) Le fixateur (A, I, p. 51) de $x$ est le sous-groupe $p_*(\pi_1(E, x))$ de $\pi_1(B, b)$.

c) Pour tout $\gamma \in \pi_1(B, b)$, on a $p_*(\pi_1(E, x)) =$ Int($\gamma$ )$(p_*(\pi_1(E, x\cdot$ $\gamma )))$.

d) Si l’espace B est connexe et que le revêtement E est galoisien, le sous-groupe $p_*(\pi_1(E, x))$ est distingué dans $\pi_1(B, b)$.

L’assertion a) est immédiate. L’assertion b) résulte du cor. 2 de la prop. 4 (III, p. 303). L’assertion c) résulte de b) et de la proposition 2 de A, I, p. 52. Supposons enfin que B soit connexe et que E soit un revêtement galoisien de B. Pour tout $\gamma \in \pi_1(B, b)$, il existe un B-automorphisme $g$ de E tel que $g(x) =x\cdot \gamma ($I, p. 102, th. 2, c)). On a $p=p\circ g$, d’où $p_*(\pi_1(E, x)) =p_*(\pi_1(E, x\cdot \gamma ))$. L’assertion d) résulte donc de c).

Pour tout $g\in G$, on a $h_{(E,x\cdot g)}=$ Int($g^{-1}$)$\circ h_{(E,x)}$.

Soit E un revêtement de B, principal de groupe G, soit $x$ un point de $E_b$ et notons $p$ la projection de E. Pour tout $g\in G$, l’application $y\mapsto y\cdot g$ est un B-automorphisme de E. On a donc, pour tout $g\in G$, tout $y\in E_b$ et tout $\gamma \in \pi_1(B, b)$, la relation $(y\cdot g)\cdot \gamma = (y\cdot \gamma )\cdot g($cf. III, p. 305, relation (4)). Par suite, pour $\gamma , \delta \in \pi_1(B, b)$, on a

ce qui prouve que $h_{(E,x)}$ est un homomorphisme de groupes.

Son noyau est le fixateur de $x$ pour l’opération canonique de $\pi_1(B, b)$, donc est égal à $p_*(\pi_1(E, x))$ d’après le théorème 1 de III, p. 305. L’application $g\mapsto x\cdot g$ est une bijection de G sur $E_b$. L’image de l’homomorphisme $h_{(E,x)}$ est donc l’ensemble des $g\in G$ tels que $x\cdot g$ appartienne à l’orbite de $x$ pour cette opération. Si E est connexe, $\pi_1(B, b)$ opère transitivement sur $E_b($loc. cit.) et l’homomorphisme $h_{(E,x)}$ est surjectif.

Soit $g\in G$; pour tout $\gamma \in \pi_1(B, b)$, on a

d’où $h_{(E,x\cdot g)}(\gamma ) =g^{-1}h_{(E,x)}(\gamma )g$. Cela termine la preuve de la proposition.