Bài tập 17, § 1

Cho $X$ là một không gian tôpô và cho $A$ là một không gian con của $X$. Ký hiệu bằng $i: A\rightarrow X$ và $j:$ Cyl($i$)$\rightarrow X\times \mathbf{I}$ các đơn ánh chính tắc. a) Giả sử rằng $X =\mathbf{R}$ và $A = ]0,1[$; chứng minh rằng ánh xạ $j$ không ngặt.

b) Giả sử rằng mọi điểm của X đều có một cơ sở đếm được của các lân cận đóng. Để ánh xạ $j$ ngặt, điều kiện cần và đủ là A đóng. c) Giả sử rằng A là tia Alexandroff (TG, IV, p. 49, exerc. 12) và rằng X là compact hóa Alexandroff của nó. Bây giờ chứng minh rằng ánh xạ $j$ là ngặt mặc dù A không đóng trong X.