Exercice 17, § 1

Soit X un espace topologique et soit A un sous-espace de X. Notons $i: A\rightarrow X$ et $j:$ Cyl($i$)$\rightarrow X\times \mathbf{I}$ les injections canoniques. a) On suppose que $X =\mathbf{R}$ et $A = ]0,1[$; démontrer que l’application $j$ n’est pas stricte.

b) Supposons que tout point de X a une base dénombrable de voisinages fermés. Pour que l’application $j$ soit stricte, il faut et il suffit que A soit fermé. c) On suppose que A est la demi-droite d’Alexandroff (TG, IV, p. 49, exerc. 12) et que X est son compactifié d’Alexandroff. Montrer que l’application $j$ est stricte bien que A ne soit pas fermé dans X.