Bài tập 18, § 1

Người ta nói rằng một không gian tôpô X là đẳng liên thông địa phương nếu ánh xạ đường chéo của X vào $X\times X$ là một đồng luân mở rộng.

a) Chứng minh rằng tích của một họ hữu hạn các không gian đẳng liên thông địa phương là đẳng liên thông địa phương.

Cho X là một không gian đẳng liên thông địa phương.

b) Chứng minh rằng tồn tại một phủ của X bởi một dãy $(U_n)_{n\in\mathbf{N}}$ các tập con mở của X sao cho, với mọi $n$, đơn ánh từ $U_n$ vào X đồng luân với một ánh xạ hằng.

c) Chứng minh rằng X là tách biệt.

d) Cho $u: X\rightarrow \mathbf{I}$ là một ánh xạ liên tục và cho U là tập hợp các điểm $x\in X$ sao cho $u(x)>0$. Chứng minh rằng các thành phần liên thông bằng đường của U là mở. Đặc biệt, các thành phần liên thông bằng đường của X là mở.

e) Cho A là một không gian con đóng của X và là một co rút của X. Chứng minh rằng A là đẳng liên thông địa phương và cặp $(X,A)$ có tính chất mở rộng đồng luân. (“Định lý Dyer và Eilenberg”.)

f) Cho A là một không gian con của X sao cho cặp $(X,A)$ có tính chất mở rộng đồng luân. Chứng minh rằng A là đẳng liên thông địa phương.