Exercice 18, § 1

On dit qu’un espace topologique X est localement équiconnexe si l’application diagonale de X dans $X\times X$ est une cofibration.

a) Démontrer que le produit d’une famille finie d’espaces localement équiconnexes est localement équiconnexe.

Soit X un espace localement équiconnexe.

b) Démontrer qu’il existe un recouvrement de X par une suite $(U_n)_{n\in\mathbf{N}}$ de parties ouvertes de X telles que, pour tout $n$, l’injection de $U_n$ dans X soit homotope à une application constante.

c) Démontrer que X est séparé.

d) Soit $u: X\rightarrow \mathbf{I}$ une application continue et soit U l’ensemble des points $x\in X$ tels que $u(x)>0$. Démontrer que les composantes connexes par arcs de U sont ouvertes. En particulier, les composantes connexes par arcs de X sont ouvertes.

e) Soit A un sous-espace fermé de X qui est un rétracte de X. Démontrer que A est localement équiconnexe et que le couple $(X,A)$ possède la propriété d’extension des homotopies. (« Théorème de Dyer et Eilenberg ».)

f) Soit A un sous-espace de X tel que le couple $(X,A)$ possède la propriété d’extension des homotopies. Démontrer que A est localement équiconnexe.