Bài tập 19, § 1

Cho B là một không gian tôpô, cho $u: X\rightarrow \mathbf{I}$ là một ánh xạ liên tục và cho $A =\overset{-1}{u}(0)$.

a) Bài tập chứng minh rằng ánh xạ $p$ của $X\times \mathbf{I}$ vào chính nó được cho bởi $p(x, t) = (x, tu(x))$ là đóng.

b) Cho Y là một không gian tôpô và cho $\sigma : X\times \mathbf{I}\rightarrow Y$ là một đồng luân cố định trên A. Cho $\tau : X\times \mathbf{I}\rightarrow Y$ là ánh xạ được cho bởi $\tau (x, t) =\sigma (x$, inf(1$, t/u(x)$)) nếu $u(x)>0$ và $\tau (x, t) =\sigma (x,1)$ trong trường hợp ngược lại. Bài tập chứng minh rằng $\tau$ là liên tục.

c) Cho C là một không gian con của X; giả sử rằng cặp $(X,C)$ có tính chất mở rộng đồng luân. Cho $f: X\rightarrow Y$ là một ánh xạ liên tục và cho $\sigma : C\times \mathbf{I}\rightarrow Y$ là một đồng luân có điểm đầu $f|C$ cố định trên $A\cap C$. Bài tập chứng minh rằng tồn tại một đồng luân $\tau : X\times \mathbf{I}\rightarrow Y$ có điểm đầu $f$ mở rộng $\sigma$ và cố định trên A.