Exercice 19, § 1

Soit B un espace topologique, soit $u: X\rightarrow \mathbf{I}$ une application continue et soit $A =\overset{-1}{u}(0)$.

a) Démontrer que l’application $p$ de $X\times \mathbf{I}$ dans lui-même donnée par $p(x, t) = (x, tu(x))$ est fermée.

b) Soit Y un espace topologique et soit $\sigma : X\times \mathbf{I}\rightarrow Y$ une homotopie fixe sur A. Soit $\tau : X\times \mathbf{I}\rightarrow Y$ l’application donnée par $\tau (x, t) =\sigma (x$, inf(1$, t/u(x)$)) si $u(x)>0$ et $\tau (x, t) =\sigma (x,1)$ sinon. Démontrer que $\tau$ est continue.

c) Soit C un sous-espace de X; on suppose que le couple $(X,C)$ jouit de la propriété d’extension des homotopies. Soit $f: X\rightarrow Y$ une application continue et soit $\sigma : C\times \mathbf{I}\rightarrow Y$ une homotopie d’origine $f|C$ qui est fixe sur $A\cap C$. Démontrer qu’il existe une homotopie $\tau : X\times \mathbf{I}\rightarrow Y$ d’origine $f$ qui prolonge $\sigma$ et qui est fixe sur A.